Clase (9/14) - Formas canónicas

1. Representaciones en el espacio de estados de sistemas definidos por su función de transferencia

Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estados de sistemas definidos por su función de transferencia. Esta sección aborda las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, observable, diagonal o de Jordan. 

1.1. Representación del espacio de estados en formas canónicas

Considérese un sistema definido mediante:

\[\normalsize{\label{001} \begin{multline} \dfrac{{{d^n}}}{{d{t^n}}}y\left( t \right) + {a_1}\dfrac{{{d^{n - 1}}}}{{d{t^{n - 1}}}}y\left( t \right) + \ldots + {a_{n - 1}}\dfrac{d}{{dt}}y\left( t \right) + {a_n}y\left( t \right) =\\ \\ {b_0}\dfrac{{{d^n}}}{{d{t^n}}}u\left( t \right) + {b_1}\dfrac{{{d^{n - 1}}}}{{d{t^{n - 1}}}}u\left( t \right) + \ldots + {b_{n - 1}}\dfrac{d}{{dt}}u\left( t \right) + {b_n}u\left( t \right) \end{multline} }\]

donde $u$ es la entrada e $y$ es la salida. Esta ecuación, aplicando la transformada de Laplace, también puede escribirse como:

 \[\normalsize{\label{002} \begin{multline} {s^n}Y\left( s \right) + {a_1}{s^{n - 1}}Y\left( s \right) + \ldots + {a_{n - 1}}sY\left( s \right) + {a_n}Y\left( s \right) =\\ \\ {b_0}{s^n}U\left( s \right) + {b_1}{s^{n - 1}}U\left( s \right) + \ldots + {b_{n - 1}}sU\left( s \right) + {b_n}U\left( s \right) \end{multline} }\]

Agrupando los términos de (\ref{002}) se obtiene

\[\normalsize{\label{003} \hspace{-1.618cm} \left( {{s^n} + {a_1}{s^{n - 1}} + \ldots + {a_{n - 1}}s + {a_n}} \right)Y\left( s \right) = \left( {{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + \ldots + {b_{n - 1}}s + {b_n}} \right)U\left( s \right) }\]

ecuación que se puede reescribir de la siguiente forma

\[\large{\label{004} \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + \ldots + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{{s^n} + {a_1}{s^{n - 1}} + \ldots + {a_{n - 1}}s + {a_n}}} }\]

Se observa que (\ref{004}) es la Función de Transferencia.

El primer problema con el que nos encontramos es representar la función de transferencia como ecuaciones de estado ya que muchas veces es un proceso largo. En el siguiente ejemplo se muestra el procedimiento completo


Considere el sistema definido por

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{s + 3}}{{{s^2} + 3s + 2}} \label{105} }\]

Obtenga la representación en el espacio de estados.

Ya que el numerador tiene la presencia de $s$ se complica la obtención de las ecuaciones de estado, tal y como se observa a continuación

\[\large{ \begin{align} Y\left( s \right)\left( {{s^2} + 3s + 2} \right) &= U\left( s \right)\left( {s + 3} \right) \nonumber\\ \nonumber\\ Y\left( s \right){s^2} + 3Y\left( s \right)s + 2Y\left( s \right) &= U\left( s \right)s + 3U\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ \ddot y + 3\dot y + 2y &= \dot u + 3u \label{106} \end{align} }\]

El problema aparece cuando en la ecuación (\ref{106}) aparece la derivada de la entrada $\dot{u}$ y se desea realizar el cambio de variable

\[\large{ \begin{align} {x_1} &= y \label{107}\\ \nonumber\\ {{\dot x}_1} &= \dot y = {x_2} \label{108}\\ \nonumber\\ {{\dot x}_2} &= \ddot y = \dot u + 3u - 3\dot y - 2y \label{109} \end{align} }\]

Como se observa en (\ref{109}), la derivada de la entrada $\dot{u}$ afecta el cambio de variable. Debe tenerse en cuenta que no hay una forma adecuada de realizar el cambio de variable.

Para poder obtener la transformación en variables de estado es necesario realizar una separación del numerador y el denominador. Esto se hace de la siguiente forma

Figura 1. Separación de la función de transferencia


Lo que se puede representar de la siguiente forma

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{A\left( s \right)}}\dfrac{{A\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{1}{{{s^2} + 3s + 2}} (s + 3) \label{110} }\]

Considerando (\ref{110})  y la Figura 1, se prosigue a evaluar $\dfrac{A(s)}{U(s)}$, 

\[\large{ \begin{align} \dfrac{{A\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} &= \dfrac{1}{{{s^2} + 3s + 2}} \nonumber\\ \nonumber\\ A\left( s \right)\left( {{s^2} + 3s + 2} \right) &= U\left( s \right) \nonumber\\ \nonumber\\ A\left( s \right){s^2} + 3A\left( s \right)s + 2A\left( s \right) &= U\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ \ddot a\left( t \right) + 3\dot a\left( t \right) + 2a\left( t \right) &= u\left( t \right) \label{111} \end{align} }\]

cuyas variables de estado son

\[\large{ \begin{align} {x_1} &= a\left( t \right) \label{112}\\ \nonumber\\ {{\dot x}_1} &= \dot a\left( t \right) = {x_2} \label{113}\\ \nonumber\\ {{\dot x}_2} &= \ddot a\left( t \right) = u\left( t \right) - 3\dot a\left( t \right) - 2a\left( t \right) = u\left( t \right) - 2{x_1} - 3{x_2} \label{114} \end{align} }\]

esto permite obtener obtener la primer parte del modelo de estados,

\[\large{ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 2}&{ - 3} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]u\left( t \right) \label{115} }\]

El siguiente paso es evaluar $\dfrac{Y(s)}{A(s)}$, tal que 

\[\large{ \begin{align} \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{A\left( s \right)}} &= s + 3 \nonumber\\ \nonumber\\ Y\left( s \right) &= \left( {s + 3} \right)A\left( s \right) \nonumber\\ \nonumber\\ Y\left( s \right) &= sA\left( s \right) + 3A\left( s \right) \nonumber\\ \nonumber\\ y\left( t \right) &= \dot a\left( t \right) + 3a\left( t \right) \label{116} \end{align} }\]

usando las variables de estado (\ref{112}) y (\ref{113}) en (\ref{116}) se obtiene

\[\large{ y\left( t \right) = \dot a\left( t \right) + 3a\left( t \right) = 3{x_1} + {x_2} \label{117} }\]

así se obtiene la segunda parte de la ecuación de estados

\[\large{ y\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] \label{118} }\]

cuyo diagrama a bloques, definido por (\ref{115}) y (\ref{118}), es

Figura 2. Diagrama a bloques


Como se observa es un proceso largo y dependiente de la forma del numerador. Sin embargo, la opción más simple para obtener la ecuación de estados de un sistema es usar la topología conocida como formas canónicas.

A continuación, se presentan las representaciones en el espacio de estados del sistema definido mediante las Ecuaciones (\ref{001}) o (\ref{004}), en su forma canónica controlable, en su forma canónica observable y en su forma canónica diagonal (o de Jordan).

1.1.1 Forma canónica controlable

La siguiente representación en el espacio de estados se denomina forma canónica controlable:

\[\normalsize{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ \vdots \\ {{{\dot x}_{n - 1}}}\\ {{{\dot x}_n}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0& \cdots &0\\ 0&0&1& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0& \cdots &1\\ { - {a_n}}&{ - {a_{n - 1}}}&{ - {a_{n - 2}}}& \cdots &{ - {a_1}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_{n - 1}}}\\ {{x_n}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ \vdots \\ 0\\ 1 \end{array}} \right]u \label{005}\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_n} - {a_n}{b_0}}&{{b_{n - 1}} - {a_{n - 1}}{b_0}}& \cdots &{{b_1} - {a_1}{b_0}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right] + {b_0}u \label{006} \end{align} }\]

La forma canónica controlable es importante cuando se analiza el método de asignación de polos para el diseño de sistemas de control.

1.1.1.1. Ejemplo

Considere el sistema definido por

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{s + 3}}{{{s^2} + 3s + 2}} \label{007} }\]

Obtenga la representación en el espacio de estados en la forma canónica controlable.

El primer paso consiste en determinar el valor de $n$, el cual está dado por el mayor grado de la derivada, en este caso $n=2$. Usando el valor de $n$ se determina el numerador y el denominador de (\ref{004})

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{{b_0}{s^2} + {b_1}s + {b_2}}}{{{s^2} + {a_1}s + {a_2}}} \label{008} }\]

Se compara (\ref{008}) con (\ref{007}) para obtener los valores de $a$ y $b$

\[\large{ \begin{align} {b_0} &= 0 \label{009}\\ {b_1} &= 1 \label{010}\\ {b_2} &= 3 \label{011}\\ {a_1} &= 3 \label{012}\\ {a_2} &= 2 \label{013} \end{align} }\]

En función de $n$ se define (\ref{005}) y (\ref{006})

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - {a_2}}&{ - {a_1}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]u \label{014}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_2} - {a_2}{b_0}}&{{b_1} - {a_1}{b_0}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + {b_0}u \label{015} \end{align} }\]

Usando los valores de $a$ y $b$ en (\ref{015}) se resuelve $\bf{C}$

\[\large{ \begin{align} {b_2} - {a_2}{b_0} &= \left( 3 \right) - \left( 2 \right)\left( 0 \right) = 3 \label{016}\\ \nonumber\\ {b_1} - {a_1}{b_0} &= \left( 1 \right) - \left( 3 \right)\left( 0 \right) = 1 \label{017} \end{align} }\]

Así se obtiene

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 2}&{ - 3} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]u \label{018}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] \label{019} \end{align} }\]

cuyo diagrama a bloques es

Figura 3. Diagrama a bloques



1.1.1.2. Ejemplo

Considere el sistema definido por

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{2{s^4} - {s^3} + 6{s^2} - s + 3}}{{2{s^5} - 4{s^4} + 2{s^3} - 3{s^2} + 3s + 2}} \label{020} }\]

Obtenga la representación en el espacio de estados en la forma canónica controlable.

El primer paso consiste en determinar el valor de $n$, el cual está dado por el mayor grado de la derivada, en este caso $n=5$. Sin embargo, el denominador no cumple con el formato de la ecuación (\ref{004}), por lo cual se debe de dividir todo entre 2, tal que 

\[\large{ \begin{align} \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} &= \dfrac{{\dfrac{{2{s^4}}}{2} - \dfrac{{{s^3}}}{2} + \dfrac{{6{s^2}}}{2} - \dfrac{s}{2} + \dfrac{3}{2}}}{{\dfrac{{2{s^5}}}{2} - \dfrac{{4{s^4}}}{2} + \dfrac{{2{s^3}}}{2} - \dfrac{{3{s^2}}}{2} + \dfrac{{3s}}{2} + \dfrac{2}{2}}} \nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{{{s^4} - 0.5{s^3} + 3{s^2} - 0.5s + 1.5}}{{{s^5} - 2{s^4} + {s^3} - 1.5{s^2} + 1.5s + 1}} \label{021} \end{align} }\]

Como se observa ahora (\ref{021}) cumple con el formato requerido. Ahora, usando el valor de $n$ se determina el numerador y el denominador de (\ref{004})

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{{b_0}{s^5} + {b_1}{s^4} + {b_2}{s^3} + {b_3}{s^2} + {b_4}s + {b_5}}}{{{s^5} + {a_1}{s^4} + {a_2}{s^3} + {a_3}{s^2} + {a_4}s + {a_5}}} \label{022} }\]

Se compara (\ref{021}) con (\ref{022}) para obtener los valores de $a$ y $b$

\[\large{ \begin{align} {b_0} &= 0 \label{023}\\ {b_1} &= 1 \label{024}\\ {b_2} &= - 0.5 \label{025}\\ {b_3} &= 3 \label{026}\\ {b_4} &= - 0.5 \label{027}\\ {b_5} &= 1.5 \label{028}\\ \nonumber\\ {a_1} &= - 2 \label{029}\\ {a_2} &= 1 \label{030}\\ {a_3} &= - 1.5 \label{031}\\ {a_4} &= 1.5 \label{032}\\ {a_5} &= 1 \label{033} \end{align} }\]

En función de $n$ se define (\ref{005}) y (\ref{006})

\[\normalsize{ \hspace{-1.618cm}\begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_3}}\\ {{{\dot x}_4}}\\ {{{\dot x}_5}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ { - {a_5}}&{ - {a_4}}&{ - {a_3}}&{ - {a_2}}&{ - {a_1}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right]u \label{034}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_5} - {a_5}{b_0}}&{{b_4} - {a_4}{b_0}}&{{b_3} - {a_3}{b_0}}&{{b_2} - {a_2}{b_0}}&{{b_1} - {a_1}{b_0}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right] + {b_0}u \nonumber\\ &\label{035} \end{align} }\]

Usando los valores de $a$ y $b$ en (\ref{035}) se resuelve $\bf{C}$

\[\large{ \begin{align} {b_5} - {a_5}{b_0} &= \left( {1.5} \right) - \left( 1 \right)\left( 0 \right) = 1.5 \label{036}\\ {b_4} - {a_4}{b_0} &= \left( { - 0.5} \right) - \left( {1.5} \right)\left( 0 \right) = - 0.5 \label{037}\\ {b_3} - {a_3}{b_0} &= \left( 3 \right) - \left( { - 1.5} \right)\left( 0 \right) = 3 \label{038}\\ {b_2} - {a_2}{b_0} &= \left( { - 0.5} \right) - \left( 1 \right)\left( 0 \right) = - 0.5 \label{039}\\ {b_1} - {a_1}{b_0} &= \left( 1 \right) - \left( { - 2} \right)\left( 0 \right) = 1 \label{040} \end{align} }\]

Así se obtiene

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_3}}\\ {{{\dot x}_4}}\\ {{{\dot x}_5}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ { - 1}&{ - 1.5}&{1.5}&{ - 1}&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right]u \label{041}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.5}&{ - 0.5}&3&{ - 0.5}&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right] \label{042} \end{align} }\]

cuyo diagrama a bloques es

Figura 4. Diagrama a bloques


1.1.2. Forma canónica observable

La siguiente representación en el espacio de estados se denomina forma canónica observable:

\[\normalsize{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ \vdots \\ {{{\dot x}_n}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0& \cdots &0&{ - {a_n}}\\ 1&0& \cdots &0&{ - {a_{n - 1}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0&0& \cdots &1&{ - {a_1}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_n} - {a_n}{b_0}}\\ {{b_{n - 1}} - {a_{n - 1}}{b_0}}\\ \vdots \\ {{b_1} - {a_1}{b_0}} \end{array}} \right]u \label{043}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0& \cdots &0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_{n - 1}}}\\ {{x_n}} \end{array}} \right] + {b_0}u \label{044} \end{align} }\]

Obsérvese que la matriz de estado $\bf{A}$ de la Ecuación (\ref{020}) es la transpuesta de la matriz de estados de la Ecuación (\ref{005}).

1.1.2.1. Ejemplo

Considere el sistema definido en (\ref{007}) y obtenga la representación en el espacio de estados en la forma canónica observable.

Considerando el valor de $n=2$ se define (\ref{043}) y (\ref{044})

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {a_2}}\\ 1&{ - {a_1}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_2} - {a_2}{b_0}}\\ {{b_1} - {a_1}{b_0}} \end{array}} \right]u \label{045}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + {b_0}u \label{046} \end{align} }\]

Usando los valores de $a$ y $b$, descritos en (\ref{009})--(\ref{013}), en (\ref{045}) se resuelve $\bf{B}$

\[\large{ \begin{align} {b_2} - {a_2}{b_0} &= \left( 3 \right) - \left( 2 \right)\left( 0 \right) = 3 \label{047}\\ \nonumber\\ {b_1} - {a_1}{b_0} &= \left( 1 \right) - \left( 3 \right)\left( 0 \right) = 1 \label{048} \end{align} }\]

Así se obtiene la forma canónica observable

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 2}\\ 1&{ - 3} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right]u \label{049}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] \label{050} \end{align} }\]

cuyo diagrama a bloques es

Figura 5. Diagrama a bloques


1.1.2.2. Ejemplo

Considere el sistema definido en (\ref{020}) y obtenga la representación en el espacio de estados en la forma canónica observable.

Se considera el sistema descrito en (\ref{021}) y el valor de $n=6$. En función del valor de $n$ se define (\ref{043}) y (\ref{044})

\[\normalsize{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_3}}\\ {{{\dot x}_4}}\\ {{{\dot x}_5}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&{ - {a_5}}\\ 1&0&0&0&{ - {a_4}}\\ 0&1&0&0&{ - {a_3}}\\ 0&0&1&0&{ - {a_2}}\\ 0&0&0&1&{ - {a_1}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_5} - {a_5}{b_0}}\\ {{b_4} - {a_4}{b_0}}\\ {{b_3} - {a_3}{b_0}}\\ {{b_2} - {a_2}{b_0}}\\ {{b_1} - {a_1}{b_0}} \end{array}} \right]u \label{051}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right] + {b_0}u \label{052} \end{align} }\]

Usando los valores de $a$ y $b$, descritos en (\ref{023})-(\ref{033}), los valores obtenidos en (\ref{036})-(\ref{040}) se obtiene la forma canónica observable

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_3}}\\ {{{\dot x}_4}}\\ {{{\dot x}_5}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&{ - 1}\\ 1&0&0&0&{ - 1.5}\\ 0&1&0&0&{1.5}\\ 0&0&1&0&{ - 1}\\ 0&0&0&1&{ 2} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.5}\\ { - 0.5}\\ 3\\ { - 0.5}\\ 1 \end{array}} \right]u \label{053}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right] \label{054} \end{align} }\]

cuyo diagrama a bloques es

Figura 6. Diagrama a bloques


1.1.3. Relación entre la forma canónica controlable y la observable

Considere la forma canónica controlable descrita de forma general como

\[\large{ \begin{align} {{{\bf{\dot x}}}_{\mathrm{c}}} &= {{\bf{A}}_{\mathrm{c}}}{{\bf{x}}_{\mathrm{c}}} + {{\bf{B}}_{\mathrm{c}}}{u_{\mathrm{c}}} \label{055}\\ \nonumber\\ {y_{\mathrm{c}}} &= {{\bf{C}}_{\mathrm{c}}}{{\bf{x}}_{\mathrm{c}}} \label{056} \end{align} }\]

se observa que se puede definir la forma canónica observable de la siguiente forma

\[\large{ \begin{align} {{{\bf{\dot x}}}_{\mathrm{o}}} &= {{\bf{A}}_{\mathrm{o}}}{{\bf{x}}_{\mathrm{o}}} + {{\bf{B}}_{\mathrm{o}}}{u_{\mathrm{o}}} \label{057}\\ \nonumber\\ {y_{\mathrm{o}}} &= {{\bf{C}}_{\mathrm{o}}}{{\bf{x}}_{\mathrm{o}}} \label{058} \end{align} }\]

donde 

\[\large{ \begin{align} {{\bf{A}}_{\mathrm{o}}} &= {{\bf{A}}_{\mathrm{c}}}^{\mathrm{T}} \label{059}\\ {{\bf{B}}_{\mathrm{o}}} &= {{\bf{C}}_{\mathrm{c}}}^{\mathrm{T}} \label{060}\\ {{\bf{C}}_{\mathrm{o}}} &= {{\bf{B}}_{\mathrm{c}}}^{\mathrm{T}} \label{061} \end{align} }\]


1.1.3.1. Ejemplo

Considérese el siguiente sistema

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{{s^3} + 12{s^2} + 44s + 48}}{{{s^3} + 9{s^2} + 23s + 15}} \label{062} }\]

obtenga la representación en el espacio de estados en la forma canónica controlable y observable.

El primer paso es obtener de (\ref{062}) los valores de $a$ y $b$

\[\large{ \begin{align} {b_0} &= 1 \label{063}\\ {b_1} &= 12 \label{064}\\ {b_2} &= 44 \label{065}\\ {b_3} &= 48 \label{066}\\ {a_1} &= 9 \label{067}\\ {a_2} &= 23 \label{068}\\ {a_3} &= 15 \label{069} \end{align} }\]

Usando el valor de $n=3$ se prosigue a definir (\ref{005})-(\ref{006}) (forma canónica controlable)

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_3}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0\\ 0&0&1\\ { - {a_3}}&{ - {a_2}}&{ - {a_1}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right]u \label{070}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_3} - {a_3}{b_0}}&{{b_2} - {a_2}{b_0}}&{{b_1} - {a_1}{b_0}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right] + {b_0}u \label{071} \end{align} }\]

El siguiente paso es calcular el valor de los componentes de $\bf{C}$ usando $a$ y $b$

\[\large{ \begin{align} {b_3} - {a_3}{b_0} &= \left( {48} \right) - \left( {15} \right)\left( 1 \right) = 48 - 15 = 33 \label{072}\\ {b_2} - {a_2}{b_0} &= \left( {44} \right) - \left( {23} \right)\left( 1 \right) = 44 - 23 = 21 \label{073}\\ {b_1} - {a_1}{b_0} &= \left( {12} \right) - \left( 9 \right)\left( 1 \right) = 12 - 9 = 3 \label{074} \end{align} }\]

Se sustituyen los valores obtenidos en (\ref{070}) y (\ref{071})

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_3}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0\\ 0&0&1\\ { - 15}&{ - 23}&{ - 9} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right]u \label{075}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {33}&{21}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right] + u \label{076} \end{align} }\]

Ahora se prosigue a obtener la forma canónica observable, para lo cual se calculan las ecuaciones (\ref{059})-(\ref{061})

\[\large{ \begin{align} {\bf{A}_{\mathrm{o}}} &= {\bf{A}_{\mathrm{c}}}^{\mathrm{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - 15}\\ 1&0&{ - 23}\\ 0&1&{ - 9} \end{array}} \right] \label{077}\\ \nonumber\\ {\bf{B}_{\mathrm{o}}} &= {\bf{C}_{\mathrm{c}}}^{\mathrm{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {33}\\ {21}\\ 3 \end{array}} \right] \label{078}\\ \nonumber\\ {\bf{C}_{\mathrm{o}}} &= {\bf{B}_{\mathrm{c}}}^{\mathrm{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \end{array}} \right] \label{079} \end{align} }\]

Así se obtiene la forma canónica observable

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_3}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - 15}\\ 1&0&{ - 23}\\ 0&1&{ - 9} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {33}\\ {21}\\ 3 \end{array}} \right]u \label{080}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right] + u \label{081} \end{align} }\]
    
× 

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 243
% Tipo: Numérico/Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

syms s

disp('                   Formas canónicas')
disp('     ')
disp('   Introducir entre corchetes los coeficientes')
disp('Nota: completar el polinómio con ceros si es necesario')
disp('     ')
numerador = input('Numerador de la Función de transferencia: ');
denominador = input('Denominador de la Función de transferencia: ');

Gs = tf(numerador,denominador);

n = numel(denominador);

b=[ ];
for i=1:n
       b(i) = numerador(i);
end

a=[ ];
for i=1:n
       a(i) = denominador(i);
end

Aaux1 = zeros(n-2,1);
Aaux2 = eye(n-2);
Aaux3 = horzcat(Aaux1,Aaux2);

for i=1:n
       Aaux4(i)= a(i);
end

Aaux5 = fliplr(Aaux4)*-1;

A_C = vertcat(Aaux3,Aaux5(1:n-1));

Baux1 = zeros(n-2,1);
Baux2 = 1;

B_C = vertcat(Baux1,Baux2);

Caux1=[ ];
for i=1:n
       Caux1(i) = b(i) - a(i)*b(1);
end

Caux2 = fliplr(Caux1);

C_C=[ ];
for i=1:n-1
       C_C(i) = Caux2(i);
end

D_C = b(1);

disp('Forma Canónica Controlable');
disp('Matriz Ac'); disp(A_C);
disp('Matriz Bc'); disp(B_C);
disp('Matriz Cc'); disp(C_C);
disp('Matriz Dc'); disp(D_C);

disp('Forma Canónica Observable');
disp('Matriz Ao'); disp(transpose(A_C));
disp('Matriz Bo'); disp(transpose(C_C));
disp('Matriz Co'); disp(transpose(B_C));
disp('Matriz Do'); disp(D_C);


1.1.4. Forma canónica diagonal

Considérese el sistema representado por la función de transferencia definida mediante la Ecuación (\ref{004}). Se considera el caso en el que el polinomio del denominador solo contiene raíces distintas. En este caso, la Ecuación (\ref{004}) se puede escribir como:

 \[\large{\label{082} \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + \ldots + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{\left( {s + {p_1}} \right)\left( {s + {p_2}} \right) \ldots \left( {s + {p_n}} \right)}} }\]

Al aplicarle fracciones parciales a (\ref{082}) se obtiene

\[\large{\label{083} \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = {b_0} + \dfrac{{{c_1}}}{{s + {p_1}}} + \dfrac{{{c_2}}}{{s + {p_2}}} + \ldots + \dfrac{{{c_n}}}{{s + {p_n}}} }\]


La forma canónica diagonal de la representación en el espacio de estados de este sistema viene dada por

 \[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ \vdots \\ {{{\dot x}_n}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {p_1}}&0& \cdots &0\\ 0&{ - {p_2}}& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0& \cdots &{ - {p_n}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{array}} \right]u \label{084}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{c_2}}& \cdots &{{c_n}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right] + {b_0}u \label{085} \end{align} }\]

1.1.4.1. Ejemplo

Considere el sistema definido en (\ref{007}) y obtenga la representación en el espacio de estados en la forma canónica diagonal.

El primer paso es definir (\ref{084}) y (\ref{085}) con respecto a $n=2$

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {p_1}}&0\\ 0&{ - {p_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right]u \label{086}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{c_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] \label{087} \end{align} }\]

Después se deben obtener las raíces del denominador

\[\normalsize{ \begin{align} s &= \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \nonumber\\ \nonumber\\ s &= \dfrac{{ - \left( 3 \right) \pm \sqrt {{{\left( 3 \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( 2 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt {9 - 8} }}{2} = \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 1 }}{2} = \frac{{ - 3 \pm 1}}{2}\nonumber\\ \nonumber\\ s &= \left\{ \begin{array}{l} {s_1} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{2} = \dfrac{{ - 2}}{2} = - 1\\ \\ {s_2} = \dfrac{{ - 3 - 1}}{2} = \dfrac{{ - 4}}{2} = - 2 \end{array} \right. \label{088} \end{align} }\]

Ya con las raíces se reescribe (\ref{007}) de la forma (\ref{083})

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{s + 3}}{{{s^2} + 3s + 2}} = \dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = \dfrac{{{c_1}}}{{s + 1}} + \dfrac{{{c_2}}}{{s + 2}} \label{089} }\]

Ahora se aplican fracciones parciales para calcular $c$

\[\large{ \begin{align} s + 3 &= \left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\dfrac{{{c_1}}}{{s + 1}} + \left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\dfrac{{{c_2}}}{{s + 2}} \nonumber\\ \nonumber\\ s + 3 &= \left( {s + 2} \right){c_1} + \left( {s + 1} \right){c_2}\nonumber\\ \nonumber\\ \left( { - 1} \right) + 3 &= \left( { - 1 + 2} \right){c_1} + \left( { - 1 + 1} \right){c_2} \nonumber\\ {c_1} &= 2 \label{090}\\ \nonumber\\ \left( { - 2} \right) + 3 &= \left( { - 2 + 2} \right){c_1} + \left( { - 2 + 1} \right){c_2} \nonumber\\ {c_2} &= - 1 \label{091} \end{align} }\]

Finalmente se sustituyen los valores obtenidos en (\ref{086}) y (\ref{087})

\[\large{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 0&{ - 2} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right]u \label{092}\\ \nonumber\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] \label{093} \end{align} }\]


1.1.4. Forma canónica de Jordan

A continuación, se considera el caso en el que el polinomio del denominador definido en la Ecuación (\ref{004}) contiene raíces múltiples. En este caso la forma canónica diagonal anterior debe modificarse a la forma canónica de Jordan. Supóngase, por ejemplo, que todos las raíces $p_i$, excepto las tres primeras, son diferentes entre sí, o sea, $p_1=p_2=p_3$. En este caso, la forma factorizada de $\dfrac{Y(s)}{U(s)}$ se hace

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \dfrac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + \ldots + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{{{\left( {s + {p_1}} \right)}^3}\left( {s + {p_4}} \right)\left( {s + {p_5}} \right) \ldots \left( {s + {p_n}} \right)}} \label{094} }\]

El desarrollo en fracciones simples de esta última ecuación se convierte en

\[\normalsize{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = {b_0} + \dfrac{{{c_1}}}{{{{\left( {s + {p_1}} \right)}^3}}} + \dfrac{{{c_2}}}{{{{\left( {s + {p_1}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{c_3}}}{{s + {p_1}}} + \dfrac{{{c_4}}}{{s + {p_4}}} + \ldots + \dfrac{{{c_n}}}{{s + {p_n}}} \label{095} }\]

Una representación en el espacio de estados de este sistema en su forma canónica de Jordan se obtiene mediante

\[\normalsize{ \begin{align} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_3}}\\ {{{\dot x}_4}}\\ \vdots \\ {{{\dot x}_n}} \end{array}} \right] &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - {p_1}}&1&0\\ 0&{ - {p_1}}&1\\ 0&0&{ - {p_1}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 0& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &0 \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} 0& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} { - {p_4}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{p_n}} \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{array}} \right]u \label{096}\\ y &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{c_2}}& \cdots &{{c_n}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right] + {b_0}u \label{097} \end{align} }\]


2. Exámenes y Tareas

T. Realizar la transcripción completa del Blog en un reporte en LaTeX y subir el archivo PDF a Google Classroom

T. Transcribir los códigos de Matlab

T. Obtener el modelo de estados de los ejercicios incluidos 

E. Contestar el Examen


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Clase 5 - Función de Transferencia

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1. Función de transferencia Los modelos matemáticos descritos por ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace permiten convertir estos modelos en relaciones algebraicas equivalentes, las cuales permiten describir mejor la relación de causa y efecto del sistema.  \[\large{ \begin{equation*} \left. \begin{array}{r} \textrm{modelos matemáticos}\\\textrm{} \\ \textrm{transformada de Laplace} \end{array} \right\}\textrm{modelos en relaciones algebraicas} \end{equation*} }\] Considerando el modelo de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede usar la  transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, lo que se le conoce como  Función de Transferencia . \[\large{ FT(s) = \dfrac{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Salida} \right\}}{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Entrada} \right\}} = \dfrac{\mathcal{L} \left\...
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