Clase 5 - Función de Transferencia

1. Función de transferencia

Los modelos matemáticos descritos por ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace permiten convertir estos modelos en relaciones algebraicas equivalentes, las cuales permiten describir mejor la relación de causa y efecto del sistema. 


\[\large{ \begin{equation*} \left. \begin{array}{r} \textrm{modelos matemáticos}\\\textrm{} \\ \textrm{transformada de Laplace} \end{array} \right\}\textrm{modelos en relaciones algebraicas} \end{equation*} }\]


Considerando el modelo de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede usar la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, lo que se le conoce como Función de Transferencia.


\[\large{ FT(s) = \dfrac{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Salida} \right\}}{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Entrada} \right\}} = \dfrac{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Respuesta} \right\}}{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Excitación} \right\}} }\]


A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en términos de $s$.

Considérese un sistema lineal e invariante en el tiempo descrito por la siguiente ecuación diferencial:


\[\normalsize{ {a_0}{y^{\left( n \right)}} + {a_1}{y^{\left( {n - 1} \right)}} + \ldots + {a_{n - 1}}\dot y + {a_n}y = {b_0}{x^{\left( m \right)}} + {b_1}{x^{\left( {m - 1} \right)}} + \ldots + {b_{m - 1}}\dot x + {b_m}x }\]


donde $(n \geq m)$, $y$ es la salida del sistema y $x$ es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtiene tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o bien,


\[\large{ G \left( s \right) = \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{X\left( s \right)}} = \dfrac{{{b_0}{x^{\left( m \right)}} + {b_1}{x^{\left( {m - 1} \right)}} + \ldots + {b_{m - 1}}\dot x + {b_m}x}}{{{a_0}{y^{\left( n \right)}} + {a_1}{y^{\left( {n - 1} \right)}} + \ldots + {a_{n - 1}}\dot y + {a_n}y}} }\]


Observación: La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. Sin embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas.


1.1. Características

  1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional que sirve para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.

  2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.

  3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)

  4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

  5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, se proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.


1.2. Procedimiento

Para obtener la función de transferencia se deben realizar los siguientes pasos:

  1. Obtener la ecuación diferencial del sistema

  2. Calcular la transformada de Laplace de la ecuación diferencial suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero.

  3. Resolver el cociente entre la salida $Y(s)$ y la entrada $X(s)$. Este cociente es la función de transferencia.


1.2.1. Ejemplos 

A continuación se presenta un ejemplo de la obtención de la Función de Transferencia.


1.2.1.1. Ejemplo

Considérese el sistema de control de posición del satélite que se muestra en la Figura. El diagrama sólo muestra el control del ángulo de elevación $\theta$. Unos propulsores pequeños aplican fuerzas de reacción para hacer girar el cuerpo del satélite hasta la posición deseada. Los dos propulsores inclinados, simétricamente colocados representados por $A$ o $B$ funcionan en pareja.




Suponga que el empuje de cada reactor es $\dfrac{F}{2}$ y que se aplica un par $\tau = Fl$. Los propulsores se encienden por un cierto período de tiempo, es decir $\tau (t)$.

Obtener la función de transferencia del sistema suponiendo que el par $\tau (t)$ es la entrada y el desplazamiento angular $\theta(t)$ es la salida.

1. Obtener la ecuación diferencial del sistema: Aplicando la segunda ley de Newton y considerando que no hay fricción en el ambiente del satélite, se obtiene:

\[\normalsize{ J \dfrac{{{\mathrm{d}^2}}}{{\mathrm{dt}{^2}}}\left( \theta \right) = \tau }\]  
donde $J$ es el momento de inercia alrededor del eje de rotación en el centro de la masa.


Observación: Segunda ley de Newton La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa
  \[\large{ \sum \bf{F} = m \bf{a} }\]

2. Calcular la transformada de Laplace de la ecuación diferencial suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero.

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L} \left\{ {J \dfrac{{{\mathrm{d}^2}}}{{\mathrm{dt}{^2}}}\left( \theta (t) \right)} \right\} & = \mathcal{L} \left\{ \tau \right\} \nonumber\\ \nonumber\\ J \mathcal{L} \left\{ {\dfrac{{{\mathrm{d}^2}}}{{\mathrm{dt}{^2}}}\left( \theta (t) \right)} \right\} & = \mathcal{L} \left\{ \tau \right\}\nonumber\\ \nonumber\\ J \left[ s^{2} \mathcal{L} \left\{ \theta \left( t \right) \right\} - s f(0) - \dot{f}(0) \right] & = \tau \left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ J s^{2} \theta \left( s \right) & = \tau \left( s \right) \end{align} }\]  

3. Resolver el cociente entre la salida $Y(s)$ y la entrada $X(s)$. Este cociente es la función de transferencia. 

 \[\large{ \dfrac{{\theta \left( s \right)}}{{{\tau}\left( s \right)}} = \dfrac{1}{{J{s^2}}} }\]  
De esta forma se obtiene la función de transferencia del sistema
× 

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 241
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

syms J theta t
f = J*theta*dirac(2, t);
tau = laplace(f)


Observación: función Delta de dirac (dirac Delta function)

  1. $\texttt{dirac (X)}$ es cero para todas las $X$, excepto $X == 0$ donde es infinito.

  2. $\texttt{dirac (n, X)}$ es la enésima derivada de dirac (X).

  3. $\texttt{dirac (X)}$ no es una función en sentido estricto, sino más bien una distribución con

    4. \[\large{ \int_{-\infty}^{\infty} dirac (x-a) f(x) = f (a) }\] \[\large{ \dfrac{d}{\mathrm{d} t} (heaviside (x), x) = dirac (x) }\]


1.3. Integral de convolución

Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, la función de transferencia $G(s)$ es

\[\large{ G\left( s \right) = \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{X\left( s \right)}} }\]
donde $X(s)$ es la transformada de Laplace de la entrada y $Y(s)$ es la transformada de Laplace de la salida, suponiendo que todas las condiciones iniciales involucradas son cero.


La salida $Y(s)$ se puede despejar como


\[\large{ Y\left( s \right) = G\left( s \right)X\left( s \right) }\] 
Obsérvese que la multiplicación $G\left( s \right)X\left( s \right)$ en el dominio complejo es equivalente a la convolución en el dominio del tiempo, por lo que la transformada inversa de Laplace se obtiene mediante la siguiente integral de convolución:

\[\large{ y\left( t \right) = \left( x*g \right) = \int\limits_0^t {x\left( \tau \right)g\left( {t - \tau } \right)\mathrm{d}\tau } = \int\limits_0^t {g\left( \tau \right)x\left( {t - \tau } \right)\mathrm{d}\tau } }\]  

en donde $g(t) = 0$ y $x(t) = 0$ para $t < 0$.

1.4. Respuesta al impulso

La respuesta a un impulso de un sistema es la que se presenta en la salida cuando en la entrada se introduce un impulso. 


Respuesta al impulso cuando se calibra una sala

Un impulso es el caso límite de un pulso infinitamente corto en el tiempo pero que mantiene su área o integral (por lo cual tiene un pico de amplitud infinitamente alto). Aunque es imposible obtener amplitud infinita en un intervalo infinitamente corto en cualquier sistema real, es un concepto útil como idealización, debido principalmente a la simplicidad de su uso en la integración.

Se dice que se ha obtenido la respuesta al impulso cuando a un sistema descrito por la función de transferencia

\[\large{ G\left( s \right) = \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{X\left( s \right)}} }\]

cuyas condiciones iniciales son cero, se le alimenta con una señal impulso unitario cuya transformada de Laplace es la unidad, es decir

\[\large{ G\left( s \right) = \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{X\left( s \right)}} = \dfrac{{Y\left( s \right)}}{1} = Y\left( s \right) }\]


La transformada inversa de Laplace de $G(s)$

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {G\left( s \right)} \right\} = g\left( t \right) }\]

se denomina respuesta al impulso, es decir

\[\large{ y(t) = g(t) }\]
La respuesta al impulso $g(t)$ también se conoce como función de ponderación del sistema.

La respuesta al impulso $g(t)$ permite obtener la información completa acerca de la dinámica del sistema, es decir, si se excita el sistema con una entrada impulso unitario y se mide la salida, es posible obtener la información completa de la dinámica.

En la práctica, la señal impulso se crea usando una señal pulso con una duración muy corta comparada con las constantes de tiempo.


2. Diagrama de bloques

El diagrama a bloques de un sistema es una representación gráfica que muestra las funciones que lleva a cabo cada componente que forma dicho diagrama, además muestra el flujo de las señales. Tal diagrama muestra las relaciones que existen entre los diversos componentes.


A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del sistema real.

En un diagrama a bloques se relacionan todas las variables del sistema mediante bloques funcionales.


2.1. Elementos básicos

Los diagramas a bloques se componen de elementos fundamentales que permiten darle sentido físico a la representación. 

2.1.1. Bloque Funcional

El bloque funcional o simplemente bloque representa la operación o función que modifica la señal de entrada para producir la salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques funcionales correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales.

 

Bloque funcional


2.1.2. Punto suma/resta

El signo de más o de menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse.


Punto resta

Es importante que las cantidades que se sumen o se resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.


2.1.3. Punto de ramificación

es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente (toma de muestra) a otros bloques o puntos suma.

Punto de ramificación

2.2. Tipo de sistemas

Los diagramas a bloque permiten representar diferentes tipos de sistemas, los cuales describen un comportamiento bien definido. A continuación se describen los tipos de sistemas más comunes y su representación en diagrama a bloques.

2.2.1. Sistema en lazo abierto

La multiplicación de bloques funcionales se realiza cuando dichos bloques se encuentran en cascada (serie).


Cuando la entrada entra al primer bloque funcional y se realiza la multiplicación con los otros bloques en cascada se dice que el sistema se encuentra en lazo abierto.

\[\large{ Y \left( s \right) = X \left( s \right) G_1 \left( s \right) G_2 \left( s \right) \ldots G_n \left( s \right) }\]


La función de transferencia del lazo abierto se obtiene siguiendo el flujo de la señal indicado por las flechas. Para este tipo de sistemas la función de transferencia se define como:
 

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{X\left( s \right)}} = {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) \ldots {G_n}\left( s \right) }\]


2.2.1.1. Ejemplo

Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama a bloques


Como se observa el diagrama a bloques describe un sistema en lazo abierto, por tal motivo su función de transferencia se define como:

\[\large{ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{X\left( s \right)}} = G_1\left( s \right)G_2\left( s \right) }\] 


2.2.2. Sistema en lazo cerrado

Cuando se toma una muestra de la salida usando un punto de bifurcación y esta se realimenta hacia la entrada a través de un punto de suma/resta se dice que el sistema se encuentra en lazo cerrado


En la mayor parte de los casos, el elemento de realimentación es un sensor que mide la salida de la planta. La salida del sensor se compara con la entrada y se genera la señal de error.

La función de transferencia se calcula de la siguiente forma


\[\large{ \begin{align} E\left( s \right) & = R\left( s \right) - C\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber \\ C\left( s \right) & = E\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber \\ C\left( s \right) & = \left[ {R\left( s \right) - C\left( s \right)} \right]G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber \\ C\left( s \right) & = R\left( s \right)G\left( s \right) - C\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber \\ C\left( s \right) + C\left( s \right)G\left( s \right) & = R\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber \\ \left[ {1 + G\left( s \right)} \right]C\left( s \right) & = R\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber \\ C\left( s \right) & = \dfrac{{R\left( s \right)G\left( s \right)}}{{1 + G\left( s \right)}}\nonumber\\ \nonumber \\ \dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} & =\dfrac{{G\left( s \right)}}{{1 + G\left( s \right)}} \end{align} }\]


2.2.3. Sistema en lazo cerrado completo

Cuando se toma una muestra de la salida usando un punto de bifurcación y esta se realimenta hacia la entrada pasando por un bloque funcional y de ahí a un punto de suma/resta se dice que el sistema se encuentra en lazo cerrado completo.


La función de transferencia se calcula de la siguiente forma


\[\large{ \begin{align} E\left( s \right) & = R\left( s \right) - B\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) & = E\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ B\left( s \right) &\nonumber= H\left( s \right)C\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) &a\nonumber \left[ {R\left( s \right) - B\left( s \right)} \right]G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) & = R\left( s \right)G\left( s \right) - B\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) & = R\left( s \right)G\left( s \right) - H\left( s \right)C\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) + H\left( s \right)C\left( s \right)G\left( s \right) & = R\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ \left[ {1 + H\left( s \right)G\left( s \right)} \right]C\left( s \right) & = R\left( s \right)G\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) &\nonumber= \dfrac{{R\left( s \right)G\left( s \right)}}{{{1 + H\left( s \right)G\left( s \right)} }}\nonumber\\ \nonumber\\ \dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} & = \dfrac{{G\left( s \right)}}{{ {1 + H\left( s \right)G\left( s \right)} }} \end{align} }\]


2.2.4.Sistema en lazo cerrado sujeto a una perturbación

Cuando se presentan dos entradas (la entrada de referencia y la perturbación) en un sistema lineal, cada una de ellas puede tratarse en forma independiente; y las salidas correspondientes a cada entrada pueden sumarse para obtener la salida completa.



La forma en que se introduce cada entrada en el sistema se muestra en el punto suma mediante un signo de más o de menos.

Cuando se presentan dos entradas (la entrada de referencia y la perturbación) en un sistema lineal, cada una de ellas puede tratarse en forma independiente; y las salidas correspondientes a cada entrada pueden sumarse para obtener la salida completa.

La función de transferencia se calcula de la siguiente forma


\[\large{ \begin{align} E\left( s \right) & = R\left( s \right) - A\left( s \right) \nonumber\\ \nonumber \\ B\left( s \right) & = E\left( s \right){G_1}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ F\left( s \right) & = B\left( s \right) + D\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber \\ C\left( s \right) & = F\left( s \right){G_2}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ A\left( s \right) & = C\left( s \right)H\left( s \right) \end{align} }\]


Se resuelve


\[\small{ \hspace{-4.854cm} \begin{align} C\left( s \right) &= F\left( s \right){G_2}\left( s \right) \nonumber\\ \nonumber \\ C\left( s \right) &= \left[ {B\left( s \right) + D\left( s \right)} \right]{G_2}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) &= B\left( s \right){G_2}\left( s \right) + D\left( s \right){G_2}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) &= \left[ {R\left( s \right) - A\left( s \right)} \right]{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) + D\left( s \right){G_2}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) &= R\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) - A\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) + D\left( s \right){G_2}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) &= R\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) - C\left( s \right)H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) + D\left( s \right){G_2}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) + C\left( s \right)H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) &= R\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) + D\left( s \right){G_2}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber\\ \left[ {1 + H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)} \right]C\left( s \right) &= R\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) + D\left( s \right){G_2}\left( s \right)\nonumber\\ \nonumber \\ \nonumber\\ C\left( s \right) &= \dfrac{{R\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right) + D\left( s \right){G_2}\left( s \right)}}{{1 + H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}}\nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber\\ C\left( s \right) &= \dfrac{{{G_2}\left( s \right)}}{{1 + H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}}\left[ {R\left( s \right){G_1}\left( s \right) + D\left( s \right)} \right] \end{align} }\]


Aplicando el principio de superposición al sistema

\[\large{ C\left( s \right) = \dfrac{{R\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}}{{1 + H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}} + \dfrac{{D\left( s \right){G_2}\left( s \right)}}{{1 + H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}} }\]


La respuesta del sistema con respecto a la entrada $R(s)$ se calcula

\[\large{ \dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}}{{1 + H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}} }\]


La respuesta con respecto a la perturbación $D(s)$ se calcula

\[\large{ \dfrac{{C\left( s \right)}}{{D\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_2}\left( s \right)}}{{1 + H\left( s \right){G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}} }\]


2.3. Procedimiento para trazar un diagrama a bloques 

Para realizar el diagrama bloques de un sistema se realizan los siguientes pasos:

  1. Se deben hallar las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. 

  2. Usando la transformada de Laplace se obtiene la representación de cada ecuación en términos de $s$ suponiendo que las condiciones iniciales son cero

  3. Se representa individualmente en forma de bloques cada una de las ecuaciones

  4. Se integran los elementos obtenidos en un diagrama a bloques completo. 

2.4. Algebra de diagrama a bloques 

La reducción de los diagramas a bloques se puede realizar usando álgebra de bloques. A continuación se presenta una tabla que se usa para realizar la reducción.

3. Exámenes y Tareas

T11. Realizar la transcripción completa del Blog en un reporte en LaTeX y subir el archivo PDF a Google Classroom

T12. Realizar todos los códigos en Matlab y subir los archivos a Google Classroom

T13. Resolver los ejercicios

E5. Contestar el Examen que se encuentra en Google Classroom 


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