Clase (9/14) - Formas canónicas
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Clase 1 - Preliminares Matemáticos
1. Preliminares matemáticos El lenguaje usado para describir fenómenos con la precisión necesaria es la matemática . Figura 1. Matemáticas La información recopilada se usa para representar matemáticamente las señales que fluyen a través de un sistema y darle solución. Señal: Es el resultado de la observación o medición de una cantidad física que varía con el tiempo, en el espacio o en función a cualquier otra variable independiente. Las señales son representadas por funciones matemáticas de una o más variables. Por ejemplo, u na señal de voz se puede representar como una función que depende del tiempo $f(x)$, Figura 2. Señal de voz mientras que una imagen se puede considerar como una función que depende de dos variables espaciales $f(x,y)$. Figura 3. Imagen Función: Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo o ninguno. (es una regla de correspondencia que asocia elementos de dos ...
Clase 3 - Transformada de Laplace
1. Transformada de Laplace La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace. Figura1. Pierre-Simon Laplace Un sistema descrito por ecuaciones diferenciales es difícil de modelar, ya que requiere práctica matemática, tal y como se observa en el siguiente ejemplo: \[\large{ \begin{align*} x \dot{y} + 2y &= e^{x}\\ \\ \dfrac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} + p \left( x \right) y &= f \left( x \right)\\ \\ \dot{y} + \dfrac{2}{x}y &= \dfrac{e^{x}}{x} \to p \left( x \right) = \dfrac{2}{x}\\ \\ e^{{\displaystyle \int } {p \left( x \right) \mathrm{dx}}} &= e^{{\displaystyle \int } {\dfrac{2}{x} \mathrm{dx}}} = e^{2 \ln \left( x \right)} = e^{\ln \left( x^{2} \right)} = x^{2}\\ \\ x^{2}\left( \dot{y} + \dfrac{2}{x}y = \dfrac{e^{x}}{x} \right) \to \dfrac{d}{{dx}}\left( x^{2}y \right) &= x^{2} \dot{y} + 2xy\\ \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \left( x^{2} y \right) = x e^{x} \to {\displaystyle \int } { \dfrac{\mathrm{d}}{\math...
Clase 2 - Números Complejos
1. Preliminares Matemáticos Los números complejos son una extensión de los números reales. El conjunto de los números complejos se define con la notación ${\mathbb {C} }$, siendo ${\mathbb {R}}$ el conjunto de los números reales se cumple que ${\mathbb {R}} \subset {\mathbb {C}}$ (${\mathbb {R}} \subset {\mathbb {C}}$ está estrictamente contenido en ${\mathbb {C} }$). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra $i$), o en forma polar. El origen de los números complejos se debe a las aportaciones del matemático e ingeniero hidráulico italiano Raffaele Bombelli (Rafael Bombelli). Video 1. Origen de los números complejos 1.1. Números complejos Los números se clasifican de la siguiente forma \[\normalsize{ \hspace{-0.4854c...
Clase 6 - Diagrama a bloques
1. Diagrama a Bloques - Método por Inspección La reducción de un diagrama a bloques usando el Álgebra de bloques puede ser muy difícil si no se cuenta con la experiencia necesaria para identificar los bloques que se pueden reducir. Por tal motivo se desarrolló el Método por Inspección. Este método consiste en analizar la trayectoria en lazo abierto de un bloque e identificar los bloques funcionales que se encuentran dentro de dicha trayectoria, es decir se analiza la trayectoria que va desde la entrada hasta la salida y se consideran los bloques funcionales.Y después analizar los retornos que existan. 1.1. Pasos del Método por Inspección A continuación se presentan los pasos para aplicar el método por inspección. 1.1.1. Identificación del lazo abierto Este paso consisten en identificar la entrada y la salida y trazar una línea directa El diagrama a bloques anterior consta de los siguientes elementos: Elementos Nombre Ent...
Clase 4 - Transformada Inversa de Laplace
1. Transformada inversa de Laplace La transformada inversa de Laplace, nos permite encontrar la función $f (t)$ desde una función $F (s)$. La transformada inversa se define como \[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ F (s) \right\} = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} F (s) e^{st} ds = f (t) u(t) }\] donde \[\large{ \begin{align} u(t) & = 1 \qquad & t>0 \\ \nonumber\\ u(t) & = 0 \qquad & t es la función de escalón unitario. Existen dos formas para obtener la transformada inversa de $F (s)$ \[\large{ \begin{equation*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ F (s) \right\} \left\{ \begin{array}{l} \textrm{Evaluando la convergencia de la integral} \\ \\ \textrm{Usando tablas de transformación} \end{array} \right. \end{equation*} }\] Observación: Para encontrar la transformada inversa de Laplace de una función complicada, se puede convertir la función en la suma de términos más simples, cuya transformada de Lapl...
Clase 5 - Función de Transferencia
1. Función de transferencia Los modelos matemáticos descritos por ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace permiten convertir estos modelos en relaciones algebraicas equivalentes, las cuales permiten describir mejor la relación de causa y efecto del sistema. \[\large{ \begin{equation*} \left. \begin{array}{r} \textrm{modelos matemáticos}\\\textrm{} \\ \textrm{transformada de Laplace} \end{array} \right\}\textrm{modelos en relaciones algebraicas} \end{equation*} }\] Considerando el modelo de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede usar la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, lo que se le conoce como Función de Transferencia . \[\large{ FT(s) = \dfrac{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Salida} \right\}}{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Entrada} \right\}} = \dfrac{\mathcal{L} \left\...
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