Clase 6 - Diagrama a bloques

1. Diagrama a Bloques - Método por Inspección

La reducción de un diagrama a bloques usando el Álgebra de bloques puede ser muy difícil si no se cuenta con la experiencia necesaria para identificar los bloques que se pueden reducir. Por tal motivo se desarrolló el Método por Inspección.

Este método consiste en analizar la trayectoria en lazo abierto de un bloque e identificar los bloques funcionales que se encuentran dentro de dicha trayectoria, es decir se analiza la trayectoria que va desde la entrada hasta la salida y se consideran los bloques funcionales.Y después analizar los retornos que existan.


1.1. Pasos del Método por Inspección

A continuación se presentan los pasos para aplicar el método por inspección.


1.1.1. Identificación del lazo abierto

Este paso consisten en identificar la entrada y la salida y trazar una línea directa


El diagrama a bloques anterior consta de los siguientes elementos:


ElementosNombre
Entrada $R(s)$
Salida $C(s)$
Bloques en el lazo abierto $G(s)$


Con esta información se llena la función de transferencia de la siguiente forma:

\[ \large{ \dfrac{{\textrm{Salida}}}{\textrm{Entrada}} = \dfrac{\textrm{Bloques en el lazo abierto}}{ }}\]

Para este ejemplo se tendrá la siguiente función de transferencia:

\[ \large{ \dfrac{C(s)}{R(s)} = \dfrac{G(s)}{ }}\]


Observación: En el caso de haber más de una entrada se debe de realizar la identificación del lazo abierto por cada entrada y al final se deben sumar las funciones de transferencia.



1.1.2. Identificación del lazo cerrado

Este paso consiste en identificar los elementos (bloques funcionales) que se encuentran en el lazo cerrado y asignar el signo de la retroalimentación.


Observación: es importante identificar el tipo de retroalimentación que tienen el lazo cerrado. Debe tenerse en cuenta que para asignar el tipo de retroalimentación se debe usar la tabla de multiplicación de signos, es decir,

\[\large{ \begin{array}{*{20}{c}} + & \times & + & = & + \\ + & \times & - & = & - \\ - & \times & + & = & - \\ - & \times & - & = & + \end{array} }\] 
donde $+$ indicará retroalimentación positiva lo que indica que se debe agregar un signo $-$ y $-$ indica retroalimentación negativa lo que indica que se debe de agregar un signo $+$.


El diagrama a bloques anterior consta de los siguientes elementos:


ElementosNombre
Punto Suma/Resta $+ \: \times - = -$
Retroalimentación Positiva
Bloques en el lazo cerrado $G(s)$, $H(s)$


Con esta información se llena la función de transferencia de la siguiente forma:

\[ \large{ \dfrac{{\textrm{Salida}}}{\textrm{Entrada}} = \dfrac{\textrm{Bloques en el lazo}}{1 \pm {\textrm{Bloques en el lazo cerrado}} }}\]

Para este ejemplo se tendrá la siguiente función de transferencia:

\[ \large{ \dfrac{C(s)}{R(s)} = \dfrac{G(s)}{1 + G(s) H(s) }}\]



1.1.2.1. Ejemplo

Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama a bloques usando el método por inspección




Se analiza el lazo abierto




se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{\dfrac{{Y\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{\left( {{K_p}} \right)\left( 1 \right)\left( {{G_1}} \right)\left( {0.01} \right)\left( {\dfrac{1}{s}} \right)}}{{}}} \]

Después se analiza el primer lazo cerrado



Según el primer lazo cerrado, la función de transferencia se define como:

\[\large{\dfrac{{Y\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{\left( {{K_p}} \right)\left( 1 \right)\left( {{G_1}\left( s \right)} \right)\left( {0.01} \right)\left( {\dfrac{1}{s}} \right)}}{{1 + \left( {{K_p}} \right)\left( 1 \right)\left( {{G_1}\left( s \right)} \right)\left( {0.01} \right)\left( {\dfrac{1}{s}} \right)}}} \]

Se analiza el siguiente lazo cerrado




Según el segundo lazo cerrado, la función de transferencia se define como:

\[\normalsize{\dfrac{{Y\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{\left( {{K_p}} \right)\left( 1 \right)\left( {{G_1}} \right)\left( {0.01} \right)\left( {\dfrac{1}{s}} \right)}}{{1 + \left( {{K_p}} \right)\left( 1 \right)\left( {{G_1}\left( s \right)} \right)\left( {0.01} \right)\left( {\dfrac{1}{s}} \right) + \left( 1 \right)\left( {{G_1}} \right)\left( {0.05} \right)\left( {{K_v}} \right)}}} \]

Reduciendo la ecuación se tiene:

\[\large{ \begin{align} \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} &= \dfrac{{\dfrac{{0.01{K_p}{G_1}}}{s}}}{{1 + \dfrac{{0.01{K_p}{G_1}}}{s} + 0.05{G_1}{K_v}}}\\ \\ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} &= \dfrac{{\dfrac{{0.01{K_p}{G_1}}}{s}}}{{\dfrac{{s + 0.01{K_p}{G_1} + 0.05{G_1}{K_v}s}}{s}}}\\ \\ \dfrac{{Y\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} &= \dfrac{{0.01{K_p}{G_1}}}{{s + 0.01{K_p}{G_1} + 0.05{G_1}{K_v}s}} \end{align} }\]                        


Finalmente, al factorizar se obtiene la función de transferencia del diagrama a bloques

\[\large{\dfrac{{Y\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{0.01{K_p}{G_1}}}{{\left( {1 + 0.05{G_1}{K_v}} \right)s + 0.01{K_p}{G_1}}}}\]




1.1.2.2. Ejemplo

Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama a bloques usando el método por inspección






Se analiza el primer lazo abierto




se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{\left( {{G_1}\left( s \right)} \right)\left( {{G_2}\left( s \right)} \right)}}{{}}} \]


Se analiza el segundo lazo abierto



Se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{D\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_2}\left( s \right)}}{{}}} \]


Después se analiza el lazo cerrado




Según el lazo cerrado, la función de transferencia (Respuesta del sistema debido a $R(s)$) se define como:

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}}{{1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)H\left( s \right)}}} \]

Se analiza el siguiente lazo cerrado



Obsérvese que el lazo cerrado para por 1 punto resta y 1 punto suma, es decir, se debe considerar cada uno para colocar el signo. El primer punto resta, el cual indica que existe retroalimentación negativa, genera un signo $+$

\[\large{ + \: \times \:  - = -}\]

mientras que el punto suma indica retroalimentación positiva, generando un signo $-$

\[\large{ + \: \times \: + = +}\]

lo que en términos generales genera una retroalimentación negativa, es decir genera un signo $+$.


 

Según el segundo lazo cerrado, la función de transferencia (Respuesta del sistema debido a $D(s)$) se define como:

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{D\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_2}\left( s \right)}}{{1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)H\left( s \right)}}} \]

Como son 2 entradas se aplica superposición y se obtiene la función de transferencia del diagrama a bloques

\[\normalsize{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} + \dfrac{{C\left( s \right)}}{{D\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)}}{{1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)H\left( s \right)}} + \dfrac{{{G_2}\left( s \right)}}{{1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right)H\left( s \right)}}}\]






1.1.2.3. Ejemplo

Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama a bloques usando el método por inspección




Se observa que el sistema está formado por un lazo abierto con una bifurcación y cinco retornos.



Observación: Cuando existe un punto de bifurcación en el lazo abierto es importante determinar el punto de unión, el cual es típicamente un punto suma o resta, lo que se representa en el numerador como una suma o resta de los bloques funcionales que se encuentran en las trayectorias que forman el lazo abierto.

Se analiza la primer trayectoria del lazo abierto



se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}{{}}} \]

Se analiza la segunda trayectoria del lazo abierto



se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}{{}}} \]


Observación: Si existe por lo menos un retorno o lazo cerrado en el diagrama a bloques lo primero que se agrega en el denominador es un 1.

Ya que en este ejemplo existen 5 retornos entonces el denominador de la función de transferencia se define como:

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}{{1}}} \]

El siguiente paso es analizar todos los retornos presentes en el diagrama a bloques. Se analiza el primer retorno (lazo cerrado)




Observación: Debido a que la retroalimentación es negativa los bloques de este primer retorno se agregan al denominador con el signo positivo.
se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}{{1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}} \]


Se analiza el segundo retorno (lazo cerrado)




Observación: Debido a que la retroalimentación es negativa los bloques de este segundo retorno se agregan al denominador con el signo positivo.
se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{ \dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}{{1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}} }\]


Se analiza el tercer retorno (lazo cerrado)




Observación: Debido a que la retroalimentación es negativa los bloques de este tercer retorno se agregan al denominador con el signo positivo.
se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{ \dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}{{\left[ \begin{array}{l} 1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)\\ + {G_2}\left( s \right){H_2}\left( s \right) \end{array} \right]}} }\] 


Se analiza el cuarto retorno (lazo cerrado)




Observación: Debido a que la retroalimentación es negativa los bloques de este cuarto retorno se agregan al denominador con el signo positivo.
se observa que se forma la siguiente parte de la función de transferencia

\[\large{ \dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}{{\left[ \begin{array}{l} 1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)\\ + {G_2}\left( s \right){H_2}\left( s \right) + {G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right){H_3}\left( s \right)\end{array} \right]}} }\]


Se analiza el último retorno (lazo cerrado)





Observación: Debido a que la retroalimentación es negativa los bloques de este quinto retorno se agregan al denominador con el signo positivo.
Finalmente se forma la  función de transferencia del sistema

\[\large{\dfrac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \dfrac{{{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)}}{{\left[ \begin{array}{l} 1 + {G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right) + {G_1}\left( s \right){H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right)\\ + {G_2}\left( s \right){H_2}\left( s \right) + {G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right){H_3}\left( s \right)\\ + {H_1}\left( s \right){G_3}\left( s \right){H_3}\left( s \right) \end{array} \right]}} }\]

× 

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 242
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

syms s

numG1aux = coeffs(expand(s+1), 'All');
denG1aux = coeffs(expand((s+2)*(s+3)), 'All');
numG1 = double(numG1aux);
denG1 = double(denG1aux);
G1 = tf([numG1], [denG1]);

numG2aux = coeffs(expand((s+2)*(s+3)), 'All');
denG2aux = coeffs(expand((s+1)*(s+4)), 'All');
numG2 = double(numG2aux);
denG2 = double(denG2aux);
G2 = tf([numG2], [denG2]);

numG3 = [1];
denG3 = [1 1];
G3 = tf([numG3], [denG3]);

numH1 = [1 2];
denH1 = [1 5];
H1 = tf([numH1], [denH1]);

numH2aux = 1;
denH2aux = coeffs(expand((s+1)*(s+4)), 'All');
numH2 = double(numH2aux);
denH2 = double(denH2aux);
H2 = tf([numH2], [denH2]);

numH3aux = 1;
denH3aux = coeffs(expand((s+2)*(s+3)), 'All');
numH3 = double(numH3aux);
denH3 = double(denH3aux);
H3 = tf([numH3], [denH3]);

numTF8aux = G1*G2*G3+G1*H1*G3;
denTF8aux = 1+G1*G2*G3+G1*H1*G3+G2*H2+G2*G3*H3+H1*G3*H3;
TF8 = numTF8aux/denTF8aux;
numTF8 = TF8.Numerator{1};
denTF8 = TF8.Denominator{1};


Después de ejecutar el Código 242 se debe armar en Simulink el siguiente diagrama a bloques con una señal de entrada senoidal de 24 unidades de amplitud y con una frecuencia de 10 radianes sobre segundo.




A continuación se presenta un vídeo en el cual se solucionan 8 diagramas a bloques usando el Método por Inspección.




2. Exámenes y Tareas

T14. Realizar la transcripción completa del Blog en un reporte en LaTeX y subir el archivo PDF a Google Classroom

T15. Realizar todos los códigos en Matlab y subir los archivos a Google Classroom

T16. Resolver los ejercicios

E6. Contestar el Examen que se encuentra en Google Classroom 

Comentarios

Publicar un comentario

Cursos

Clase 1 - Preliminares Matemáticos

Imagen
1. Preliminares matemáticos El lenguaje usado para describir fenómenos con la precisión necesaria es la matemática . Figura 1. Matemáticas La información recopilada se usa para representar matemáticamente las señales que fluyen a través de un sistema y darle solución.   Señal:    Es el resultado de la observación o medición de una cantidad física que varía con el tiempo, en el espacio o en función a cualquier otra variable independiente. Las señales son representadas por funciones matemáticas de una o más variables. Por ejemplo, u na señal de voz se puede representar como una función que depende del tiempo $f(x)$,  Figura 2. Señal de voz mientras que una imagen se puede considerar como una función que depende de dos variables espaciales $f(x,y)$. Figura 3. Imagen Función:  Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo o ninguno. (es una regla de correspondencia que asocia elementos de dos ...
Leer más

Clase 3 - Transformada de Laplace

Imagen
1. Transformada de Laplace La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace. Figura1. Pierre-Simon Laplace Un sistema descrito por ecuaciones diferenciales es difícil de modelar, ya que requiere práctica matemática, tal y como se observa en el siguiente ejemplo: \[\large{ \begin{align*} x \dot{y} + 2y &= e^{x}\\ \\ \dfrac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} + p \left( x \right) y &= f \left( x \right)\\ \\ \dot{y} + \dfrac{2}{x}y &= \dfrac{e^{x}}{x} \to p \left( x \right) = \dfrac{2}{x}\\ \\ e^{{\displaystyle \int } {p \left( x \right) \mathrm{dx}}} &= e^{{\displaystyle \int } {\dfrac{2}{x} \mathrm{dx}}} = e^{2 \ln \left( x \right)} = e^{\ln \left( x^{2} \right)} = x^{2}\\ \\ x^{2}\left( \dot{y} + \dfrac{2}{x}y = \dfrac{e^{x}}{x} \right) \to \dfrac{d}{{dx}}\left( x^{2}y \right) &= x^{2} \dot{y} + 2xy\\ \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \left( x^{2} y \right) = x e^{x} \to {\displaystyle \int } { \dfrac{\mathrm{d}}{\math...
Leer más

Clase 2 - Números Complejos

Imagen
1. Preliminares Matemáticos Los números complejos son una extensión de los números reales.   El conjunto de los números complejos se define con la notación ${\mathbb {C} }$, siendo ${\mathbb {R}}$ el conjunto de los números reales se cumple que ${\mathbb {R}} \subset {\mathbb {C}}$ (${\mathbb {R}} \subset {\mathbb {C}}$ está estrictamente contenido en ${\mathbb {C} }$). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra $i$), o en forma polar. El origen de los números complejos se debe a las aportaciones del  matemático e ingeniero hidráulico italiano  Raffaele  Bombelli (Rafael Bombelli). Video 1. Origen de los números complejos 1.1. Números complejos Los números se clasifican de la siguiente forma \[\normalsize{ \hspace{-0.4854c...
Leer más

Clase 4 - Transformada Inversa de Laplace

1. Transformada inversa de Laplace La transformada inversa de Laplace, nos permite encontrar la función $f (t)$ desde una función $F (s)$. La transformada inversa se define como \[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ F (s) \right\} = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} F (s) e^{st} ds = f (t) u(t) }\] donde \[\large{ \begin{align} u(t) & = 1 \qquad & t>0 \\ \nonumber\\ u(t) & = 0 \qquad & t es la función de escalón unitario. Existen dos formas para obtener la transformada inversa de $F (s)$ \[\large{ \begin{equation*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ F (s) \right\} \left\{ \begin{array}{l} \textrm{Evaluando la convergencia de la integral} \\ \\ \textrm{Usando tablas de transformación} \end{array} \right. \end{equation*} }\] Observación: Para encontrar la transformada inversa de Laplace de una función complicada, se puede convertir la función en la suma de términos más simples, cuya transformada de Lapl...
Leer más

Clase 5 - Función de Transferencia

Imagen
1. Función de transferencia Los modelos matemáticos descritos por ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace permiten convertir estos modelos en relaciones algebraicas equivalentes, las cuales permiten describir mejor la relación de causa y efecto del sistema.  \[\large{ \begin{equation*} \left. \begin{array}{r} \textrm{modelos matemáticos}\\\textrm{} \\ \textrm{transformada de Laplace} \end{array} \right\}\textrm{modelos en relaciones algebraicas} \end{equation*} }\] Considerando el modelo de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede usar la  transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, lo que se le conoce como  Función de Transferencia . \[\large{ FT(s) = \dfrac{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Salida} \right\}}{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Entrada} \right\}} = \dfrac{\mathcal{L} \left\...
Leer más

Curso

Imagen
En el menú Lista de Cursos se encuentran listadas las entradas referentes a cada materia.
Leer más