Clase (9/14) - Formas canónicas
Clase 2 - Números Complejos
1. Preliminares Matemáticos
Los números complejos son una extensión de los números reales. El conjunto de los números complejos se define con la notación ${\mathbb {C} }$, siendo ${\mathbb {R}}$ el conjunto de los números reales se cumple que ${\mathbb {R}} \subset {\mathbb {C}}$ (${\mathbb {R}} \subset {\mathbb {C}}$ está estrictamente contenido en ${\mathbb {C} }$).
Los
números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra $i$), o en forma polar.
El origen de los números complejos se debe a las aportaciones del matemático e ingeniero hidráulico italiano Raffaele Bombelli (Rafael Bombelli).
Video 1. Origen de los números complejos
1.1. Números complejos
Los números se clasifican de la siguiente forma
Los números complejos se forman por una parte real y una imaginaria
donde $x \in \mathbb{R}$ es la parte real, $y \in \mathbb{I}$ es la parte imaginaria y $i = \sqrt{-1}$.
Los números complejos existen en el plano complejo ${\mathbb{C}}$, en el cual, el eje de las abscisas (eje real) representa a los números reales ${\mathbb{R}}$ y el eje de las ordenadas (eje imaginario) describe a los números imaginarios ${\mathbb{I}}$, tal y como se observa en la siguiente gráfica
 |
| Figura 1. Gráfica de un número complejo |
La magnitud, o valor absoluto de $z$, se define como la longitud del segmento de recta definido como
\[\large{ \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}. }\]
El ángulo $\theta$ de $z$ es el ángulo, en radianes o grados, que el segmento de recta forma con el eje real positivo y se define como:
\[\large{ \theta = {\tan ^{ - 1}}\Bigg( {\frac{y}{x}} \Bigg). }\]
Se puede representar el número $z$ de forma polar o rectangular, tal que:
\[\large{ z = \underbrace {x + iy}_{{\rm{rectangulares}}} = \underbrace {\left| z \right|{\rm{ }}\angle \theta }_{{\rm{polares}}} }\]
donde $x = \left| z \right| \cos \left( \theta \right)$ y $y = \left| z \right| \mathrm{sen} \left( \theta \right)$.
La gráfica de la magnitud $z$ y el ángulo $\theta$ de un número complejo es la siguiente
 |
| Figura 2. Gráfica de la magnitud y el ángulo de un número complejo |
1.2. Números complejos conjugado
El complejo conjugado del número
se define como
Se observa que $\bar{z}$ tiene la misma parte real que $z$ y una parte imaginaria que es la negativa de la parte imaginaria de $z$.
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| Figura 3. Gráfica de un número complejo$z$ y su conjugado $\bar{z}$ |
1.3. Representación de los números complejos
Un número complejo puede escribirse de varias formas
\[\large{ \begin{equation*} \begin{array}{rl} \textrm{Forma Rectangular} &\left \{ \begin{array}{l} z = x+iy\\ \\ z = | z | \left \{ \cos(\theta) + i \: \rm{sen} (\theta) \right \} \end{array} \right. \\ \\ \textrm{Forma Polar} &\left \{ \begin{array}{l} z = |z| \angle \theta\\ \\ z = | z | e^{i \theta} \end{array} \right. \end{array} \end{equation*} }\]
La relación entre las coordenadas polares y rectangulares es la siguiente
\[\large{ \begin{equation*} \begin{array}{*{20}{c}} {{\textrm{Rectangular a polar}}}&{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {z = \sqrt {{x^2} + {y^2}} }\\ \\ {\theta = {{\tan }^{ - 1}}\Bigg( {\dfrac{y}{x}} \Bigg)} \end{array}} \right.}\\ {}&{}\\ {{\textrm{Polar a rectangular}}}&{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \left| z \right|\cos \left( \theta \right)}\\ \\ {y = \left| z \right|{\rm{sen}}\left( \theta \right)} \end{array}} \right.} \end{array} \end{equation*} }\]
Nótese que
\[\large{ \begin{align} z=& { x + iy = \left| z \right|\angle ( + \theta ) = \left| z \right|\left\{ {\cos \left( \theta \right) + i{\rm{sen}}\left( \theta \right)} \right\}}\\ \nonumber\\ {\bar z} =& { x - iy = \left| z \right|\angle ( - \theta ) = \left| z \right|\left\{ {\cos \left( \theta \right) - i{\rm{sen}}\left( \theta \right)} \right\}} \end{align} }\]
1.4. Teorema de Euler
Supongamos que se tiene en el plano complejo un ángulo $\theta$ y se desea definir el número complejo $z$ definido dentro del radio unitario
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| Figura 4. Número complejo en ${\mathbb{C}}$ |
Las expansiones de series de potencia de $\cos (\theta) $ y $\rm{sen} \left( \theta \right)$ son, respectivamente,
\[\large{ \begin{align} \cos \left( \theta \right) &= 1 - \dfrac{{{\theta ^2}}}{{2!}} + \dfrac{{{\theta ^4}}}{{4!}} - \dfrac{{{\theta ^6}}}{{6!}} + \ldots \\ \nonumber\\ {\rm{sen}}\left( \theta \right) &= \theta - \dfrac{{{\theta ^3}}}{{3!}} + \dfrac{{{\theta ^5}}}{{5!}} - \dfrac{{{\theta ^7}}}{{7!}} + \ldots \end{align} }\]
Y por lo tanto,
\[\large{ \cos \left( \theta \right) + i{\rm{sen}}\left( \theta \right) = 1 + \left( {i\:\theta } \right) + \dfrac{{{{\left( {i\:\theta } \right)}^2}}}{{2!}} + \dfrac{{{{\left( {i\:\theta } \right)}^3}}}{{3!}} + \dfrac{{{{\left( {i\:\theta } \right)}^4}}}{{4!}} + \ldots }\]
Puesto que
\[\large{ {e^x} = 1 + x + \dfrac{{{x^2}}}{{2!}} + \dfrac{{{x^3}}}{{3!}} + \dfrac{{{x^4}}}{{4!}} + \dfrac{{{x^5}}}{{5!}} + \dfrac{{{x^6}}}{{6!}} + \dfrac{{{x^7}}}{{7!}} + \ldots }\]
Se observa que
\[\large{ \cos \left( \theta \right) + i{\rm{sen}}\left( \theta \right) = {e^{i\:\theta }} \qquad {\textrm{teorema de Euler}} }\]
A continuación se presenta el teorema de Euler y su complejo conjugado:
\[\large{ \begin{align} {e^{i \: \theta }} & = \cos \left( \theta \right) + i \mathrm{sen} \left( \theta \right)\\ \nonumber\\ {e^{ - i \: \theta }} & = \cos \left( \theta \right) - i \mathrm{sen} \left( \theta \right). \end{align} }\]
Al usar el teorema de Euler, podemos expresar la función seno y coseno en forma compleja
\[\large{ \begin{align} \cos \left( \theta \right) & = \dfrac{{{e^{i \: \theta }} + {e^{ - i \: \theta }}}}{2}\\ \nonumber\\ \mathrm{sen} \left( \theta \right) & = \dfrac{{{e^{i \: \theta }} - {e^{ - i \: \theta }}}}{{2i}} \end{align} }\]
Demostración del Teorema de Euler
Se consideran las siguientes funciones
\[\large{ \begin{align} f \left( 0 \right) & = {e^{0 \: i}} = 1\\ \nonumber\\ g \left( 0 \right) & = \cos \left( 0 \right) + i\: \mathrm{sen} \left( 0 \right) = 1 + 0 \: i = 1. \end{align} }\]
como ${\large{i^{2} = - 1}}$ se tiene
\[\large{ \begin{align} g' \left( \theta \right) & = i^{2} \mathrm{sen} \left( \theta \right) + i \: \cos \left( \theta \right) = i \: \left[ i \mathrm{sen} \left( \theta \right) + \cos \left( \theta \right) \right] \nonumber\\ \nonumber\\ & = i \: g \left( \theta \right) \end{align} }\]
\[\large{ \begin{align} f \left( 0 \right) & = 1\\ \nonumber\\ g \left( 0 \right) & = 1 \end{align} }\]
y la derivada de una función da como resultado ${\large{i}}$ por ella misma
\[\large{ \begin{align} f' \left( \theta \right) & = i \: f \left( \theta \right) \\ \nonumber\\ g' \left( \theta \right) & = i \: g \left( \theta \right) \end{align} }\]
lo que indica que tienen que ser necesariamente iguales. Lo que permite concluir que
\[\large{ e^{i \: \theta} = \cos \left( \theta \right) + i \: \mathrm{sen} \left( \theta \right) }\]
Se consideran las siguientes funciones
\[\large{ \begin{align} f \left( 0 \right) & = {e^{0 \: i}} = 1\\ \nonumber\\ g \left( 0 \right) & = \cos \left( 0 \right) + i\: \mathrm{sen} \left( 0 \right) = 1 + 0 \: i = 1. \end{align} }\]
Se observa que las dos funciones evaluadas en cero son iguales.
Ahora se prosigue a derivar las funciones.
- Se deriva ${\large{f \left( \theta \right) = e^{i\theta }}}$
- Se deriva ${\large{g \left( \theta \right) = \cos \left( \theta \right) + i \mathrm{sen} \left( \theta \right)}}$
como ${\large{i^{2} = - 1}}$ se tiene
\[\large{ \begin{align} g' \left( \theta \right) & = i^{2} \mathrm{sen} \left( \theta \right) + i \: \cos \left( \theta \right) = i \: \left[ i \mathrm{sen} \left( \theta \right) + \cos \left( \theta \right) \right] \nonumber\\ \nonumber\\ & = i \: g \left( \theta \right) \end{align} }\]
Al evaluar las funciones ${\large{f \left( \theta \right)}}$ y ${\large{g \left( \theta \right)}}$ usando la misma condición inicial (${\large{\theta = 0}}$) se obtiene el mismo valor
\[\large{ \begin{align} f \left( 0 \right) & = 1\\ \nonumber\\ g \left( 0 \right) & = 1 \end{align} }\]
y la derivada de una función da como resultado ${\large{i}}$ por ella misma
\[\large{ \begin{align} f' \left( \theta \right) & = i \: f \left( \theta \right) \\ \nonumber\\ g' \left( \theta \right) & = i \: g \left( \theta \right) \end{align} }\]
lo que indica que tienen que ser necesariamente iguales. Lo que permite concluir que
\[\large{ e^{i \: \theta} = \cos \left( \theta \right) + i \: \mathrm{sen} \left( \theta \right) }\]
La comprobación gráfica del Teorema de Euler se observa en la siguiente figura
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| Figura 5. $\cos(\theta) + i \: \rm{sen} (\theta) = e^{i \theta}$ |
Gráficamente se observa que $\cos(\theta) + i \: \rm{sen} (\theta)$ es igual a $e^{i \: \theta}$.
1.4.1. Plano completo
Debido a la inclusión de los números imaginarios es necesario un espacio tridimensional formado por una parte real, una parte imaginaria y el tiempo.
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| Figura 6. Plano completo |
El teorema de Euler graficado en un plano considerando su parte real, su parte imaginaria y el tiempo se presenta en la siguiente figura.
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| Figura 7. Teorema de Euler en el plano completo |
Como se observa en la figura, el teorema de Euler descrito por:
existe en el espacio tridimensional como una señal que oscila de manera constante formando una hélice de amplitud constante.
En la figura anterior se observa que la función coseno existe en un plano formado por el eje real y el tiempo $\{ {\mathbb{R}}, t \}$
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| Figura 8. $\cos (t)$ |
Mientras que la función senoidal existe en el plano formado por el eje imaginario y el tiempo $\{ {\mathbb{I}}, t \}$
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| Figura 9. $i \: \rm{sen} (t)$ |
Al sumar las funciones trigonométricas $\cos(t)$ y $i \: \rm{sen}(t)$ se forma un círculo que existe en el plano formado por el eje real y el eje imaginario tal que $\{ {\mathbb{R}}$, $ {\mathbb{I}} \}$
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| Figura 10. Círculo formado por las funciones seno y coseno |
1.4.1. Funciones reales en el plano
Las funciones reales solo tienen parte real, es decir, la parte imaginaria es cero. Este tipo de funciones existe en el plano $\{ {\mathbb{R}}, t\}$.
1.4.1.1. Función real $e^{-t}$
La función $\large{e^{-t}}$ se representa de la siguiente forma
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| Figura 11. Función $e^{-t}$ |
cuya parte real está descrita en la siguiente figura
 |
| Figura 12. Parte real de la función $e^{-t}$ |
y cuya parte imaginaria es cero, tal y como se observa en la siguiente figura
 |
| Figura 13. Parte imaginaria de la función $e^{-t}$ |
1.4.1.2. Función real $\cos(t)$
La función $\cos(t)$ se representa en el plano completo de la siguiente forma
 |
| Figura 14. Función $\cos(t)$ |
cuya parte real está descrita en la siguiente figura
 |
| Figura 15. Parte real de la función $\cos(t)$ |
y cuya parte imaginaria es cero, tal y como se observa en la siguiente figura
 |
| Figura 16. Parte imaginaria de la función $\cos(t)$ |
1.4.1.3.Función real $\textrm{sen}(t)$
La función $\rm{sen}(t)$ se representa en el plano completo de la siguiente forma
 |
| Figura 17. Función $\rm{sen}(t)$ |
cuya parte real está descrita en la siguiente figura
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| Figura 18. Parte real de la función $\rm{sen}(t)$ |
y cuya parte imaginaria es cero, tal y como se observa en la siguiente figura
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| Figura 19. Parte imaginaria de la función $\rm{sen}(t)$ |
1.5. Álgebra compleja
1.5.1. Igualdad de los números complejos
Definición: Se dice que dos números complejos $z$ y $w$ son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
De modo que si se escriben dos números complejos
entonces $z = w$ si y sólo si $x = u$ y $y = v$.
1.5.2. Adición
Definición: Dos números complejos en la forma rectangular se suman mediante la adición de las partes reales y las partes imaginarias separadamente.
\[\large{ \begin{align} z + w & = \left( {x + i y} \right) + \left( {u + jv} \right)\nonumber\\ \nonumber\\ & = \left( {x + u} \right) + j\left( {y + v} \right) \end{align} }\]
\[\large{ \begin{align} z + w & = \left( {x + i y} \right) + \left( {u + jv} \right)\nonumber\\ \nonumber\\ & = \left( {x + u} \right) + j\left( {y + v} \right) \end{align} }\]
1.5.3. Sustracción
Definición: La sustracción puede considerarse como la adición del negativo.
\[\large{ \begin{align} z - w & = \left( {x + i y} \right) - \left( {u + jv} \right)\nonumber\\ \nonumber\\ & = \left( {x - u} \right) + j\left( {y - v} \right) \end{align} }\]
\[\large{ \begin{align} z - w & = \left( {x + i y} \right) - \left( {u + jv} \right)\nonumber\\ \nonumber\\ & = \left( {x - u} \right) + j\left( {y - v} \right) \end{align} }\]
1.5.4. Multiplicación de un escalar por un número complejo
Definición: Si un número complejo se multiplica por un número real, entonces resulta un número complejo cuyas partes real e imaginaria están multiplicadas por ese número real.
\[\large{
\begin{align}
az & = a\left( {x + i y} \right) \nonumber\\
\nonumber\\
& = ax + jay
\end{align}
}\]
1.5.5. Multiplicación de dos números complejos (forma rectangular)
Definición: Si dos número complejo se multiplican se considera el hecho de que ${\large{i^{2} = -1}}$.
\[\large{
\begin{align}
zw & = \left( {x + i y} \right)\left( {u + iv} \right)\nonumber\\
\nonumber\\
& = xu + iyu + ixv + {i^2}yv \nonumber\\
\nonumber\\
& = \left( {xu - yv} \right) +i\left( {xv + yu} \right)
\end{align}
}\]
1.5.6. Multiplicación de dos números complejos (forma polar)
Definición: La magnitud de la magnitud es el producto de las dos magnitudes, y el ángulo del producto es la suma de los dos ángulos. De modo que si dos números complejos se escriben como
\[\large{
\begin{align}
z & = \left| z \right|\angle \theta \\
\nonumber\\
w & = \left| w \right|\angle \phi
\end{align}
}\]
entonces
\[\large{
zw = \left| z \right|\left| w \right|\angle (\theta + \phi)
}\]
1.5.7. Multiplicación por $i$ (forma rectangular)
Definición: Es importante notar que la multiplicación por $i$ es equivalente a una rotación de $90^{\circ}$ contraria al sentido de las manecillas del reloj.
 |
| Figura 20. Multiplicación por $i$ |
Sea el número complejo
\[\large{ z = x+i y }\] entonces \[\large{ \begin{align} iz &=i\left( x + i y \right) \nonumber\\ \nonumber\\ &= ix + i^{2}y \nonumber\\ \nonumber\\ & = - y + ix \end{align} }\]
1.5.8. Multiplicación por $i$ (forma polar)
Definición: Si $i = 1 \angle 90^{\circ}$ y se considera el número complejo de forma polar.
\[\large{
z = \left| z \right| \angle \theta
}\]
entonces
\[\large{
\begin{align}
iz & = 1 \angle (90^{\circ}) \left| z \right| \angle (\theta) \nonumber\\
\nonumber\\
& = \left| z \right| \angle (\theta + 90^{\circ})
\end{align}
}\]
1.5.9. División
Definición: Si un número complejo $z = \left| z \right| \angle \theta$ se divide entre otro número complejo $w = \left| w \right| \angle \phi$, entonces
\[\large{
\dfrac{z}{w} = \dfrac{\left| z \right| \angle \bigg(\theta\bigg)}{\left| w \right| \angle \bigg(\phi \bigg)} = \dfrac{\left| z \right|}{\left| w \right|} \angle \bigg( \theta - \phi \bigg)
}\]
Por lo tanto, el resultado consiste en el cociente de las magnitudes y la diferencia de los ángulos.
Observación: La división en la forma rectangular es inconveniente, pero puede efectuarse mediante la multiplicación del denominador y numerador por el complejo conjugado del denominador. Este procedimiento convierte el denominador en un número real y se simplifica así la división.
1.5.10. División entre $i$
Definición: Nótese que la división entre $i$ es equivalente a una rotación de $90^{\circ}$ en el sentido de las manecillas del reloj
 |
| Figura 21. División entre $i$ |
1.5.10.1. División entre $i$ (forma rectangular)
Definición: Si $z = x + i y$, entonces
\[\large{
\begin{align}
\dfrac{z}{i} & = \dfrac{x + i y}{i} \left( \dfrac{i}{i} \right) \nonumber\\
& = \dfrac{\left( x + i y \right)i}{i^{2}} \nonumber\\
& = \dfrac{\left( ix + i^{2}y \right)}{i^{2}} \nonumber\\
& = \dfrac{\left( ix - y \right)}{ - 1} \nonumber\\
& = y - ix
\end{align}
}\]
1.5.10.2. División entre $i$ (forma polar)
Definición: Si $\left| z \right| \angle \theta$, entonces
\[\large{
\begin{align}
\dfrac{z}{i} &= \dfrac{ \left| z \right| \angle \bigg(\theta \bigg)}{1 \angle \bigg( 90^{\circ} \bigg)} \nonumber\\
\nonumber\\
&= \left| z \right| \angle \bigg( \theta - 90^{\circ} \bigg)
\end{align}
}\]
1.5.11. Potencias y raíces
Definición: Multiplicando $z$ por sí mismo $n$ veces, se obtiene
\[\large{
z^{n} = \left( \left| z \right| \angle \bigg( \theta \bigg) \right)^{n} = \left| z \right|^{n} \angle \bigg( n \theta \bigg)
}\]
La extracción de la raíz $n$--ésima de un número complejo es equivalente a elevar el número a la potencia $\dfrac{1}{n}$-ésima.
La extracción de la raíz $n$--ésima de un número complejo es equivalente a elevar el número a la potencia $\dfrac{1}{n}$-ésima.
\[\large{ z^{\dfrac{1}{n}} = \left( \left| z \right| \angle \bigg( \theta \bigg) \right)^{\dfrac{1}{n}} = \left| z \right|^{\dfrac{1}{n}} \angle \bigg( \dfrac{\theta}{n} \bigg) }\]
1.5.11.1. Periodicidad
Si elevamos $i$ a potencias cada vez más altas, no se vuelve más grandes como harían los otros números. Cualquier número que pertenece a los reales al ser elevado a una potencia tiene un comportamiento creciente, tal y como se observa en la siguiente tabla
| $\large{2^{0} = 1}$ |
| $\large{2^{1} = 2}$ |
| $\large{2^{2} = 4}$ |
| $\large{2^{3} = 8}$ |
| $\large{2^{4} = 16}$ |
| $\large{2^{5} = 32}$ |
| $\large{2^{6} = 64}$ |
| $\large{2^{7} = 128}$ |
| $\large{2^{8} = 256}$ |
Tabla 1. Comportamiento creciente de la potencia
Multiplicar un número positivo por sí mismo mantiene la dirección en la recta numérica, es decir, se mantiene positivo.
 |
| Figura 22. Dirección de la multiplicación de un número positivo por sí mismo |
Si multiplicamos un número positivo por un número negativo, se invierte la dirección, es decir rota 180°.
Figura 23. Dirección de la multiplicación de un número positivo por uno negativo
Y si elevamos al cuadrado un número negativo nos lleva nuevamente al lado positivo, es decir volvemos a rotar 180°.
 |
| Figura 24. Dirección del cuadrado de un número negativo |
Observación: El cuadrado de un número positivo es positivo y el cuadrado de un número negativo requiere que se inicie en el lado negativo, y cuando se multiplica por sí mismo o por otro número negativo, se llega a los números positivos.
Mientras que al elevar el número imaginario $i$ a potencias cada vez más altas no ve creciendo sino más bien aparece un comportamiento periódico, tal y como se observa en la siguiente tabla
| $\large{i^{0} =+1}$ |
| $\large{i^{1} =+i}$ |
| $\large{i^{2} =-1}$ |
| $\large{i^{3} =-i}$ |
| $\large{i^{4} =+1}$ |
| $\large{i^{5} =+i}$ |
| $\large{i^{6} =-1}$ |
| $\large{i^{7} =-i}$ |
| $\large{i^{8} =+1}$ |
Tabla 2. Comportamiento periódico de $i$
El número $i$ cuando se multiplica por sí mismo sólo gira 90°. Por ejemplo, $i^{0} = 1$, tal y como se observa en la siguiente figura
 |
| Figura 25. Gráfica de $i^{0}$ |
Por ejemplo, $i^{1} = i$, tal y como se observa en la siguiente figura
 |
| Figura 26. Gráfica de $i^{1}$ |
Por ejemplo, $i^{2} = -1$, tal y como se observa en la siguiente figura
 |
| Figura 27. Grafica de $i^{2}$ |
Por ejemplo, $i^{3} = -i$, tal y como se observa en la siguiente figura
 |
| Figura 28. Gráfica de $i^{3}$ |
Por ejemplo, $i^{4} = 1$, tal y como se observa en la siguiente figura
 |
| Figura 29. Gráfica de $i^{4}$ |
Finalmente se definen los ejes (el real y el imaginario)
 |
| Figura 30. Ejes Real e Imaginario |
1.6. Variable compleja
Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria y ambas partes son constantes. Si la parte real y/o la parte imaginaria son variables, el número complejo se llama variable compleja.
Un caso particular es la transformada de Laplace, en donde se usa la notación $s$ como una variable compleja; esto es,
donde $\sigma$ es la parte real y $\omega$ es la parte imaginaria.
1.7. Función compleja
Una función compleja $F(s)$, como función de $s$, tiene una parte real y una parte imaginaria, es decir
donde $F_x$ y $F_y$ son cantidades reales.
La magnitud y el ángulo de $F(s)$ se definen como
El complejo conjugado de $F(s)$ es $\bar{F} (s) = F_x - i F_y$.
Finalmente el significado gráfico de los números complejos se presenta en el siguiente video
Video 2. Physics Videos by Eugene Khutoryansky
https://www.youtube.com/channel/UCJ0yBou72Lz9fqeMXh9mkog
https://www.youtube.com/channel/UCJ0yBou72Lz9fqeMXh9mkog
1.8. Exámenes y Tareas
T3. Realizar la transcripción completa del Blog en un reporte en LaTeX y subir el archivo PDF a Google Classroom
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1. Diagrama a Bloques - Método por Inspección La reducción de un diagrama a bloques usando el Álgebra de bloques puede ser muy difícil si no se cuenta con la experiencia necesaria para identificar los bloques que se pueden reducir. Por tal motivo se desarrolló el Método por Inspección. Este método consiste en analizar la trayectoria en lazo abierto de un bloque e identificar los bloques funcionales que se encuentran dentro de dicha trayectoria, es decir se analiza la trayectoria que va desde la entrada hasta la salida y se consideran los bloques funcionales.Y después analizar los retornos que existan. 1.1. Pasos del Método por Inspección A continuación se presentan los pasos para aplicar el método por inspección. 1.1.1. Identificación del lazo abierto Este paso consisten en identificar la entrada y la salida y trazar una línea directa El diagrama a bloques anterior consta de los siguientes elementos: Elementos Nombre Ent...
Clase 4 - Transformada Inversa de Laplace
1. Transformada inversa de Laplace La transformada inversa de Laplace, nos permite encontrar la función $f (t)$ desde una función $F (s)$. La transformada inversa se define como \[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ F (s) \right\} = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} F (s) e^{st} ds = f (t) u(t) }\] donde \[\large{ \begin{align} u(t) & = 1 \qquad & t>0 \\ \nonumber\\ u(t) & = 0 \qquad & t es la función de escalón unitario. Existen dos formas para obtener la transformada inversa de $F (s)$ \[\large{ \begin{equation*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ F (s) \right\} \left\{ \begin{array}{l} \textrm{Evaluando la convergencia de la integral} \\ \\ \textrm{Usando tablas de transformación} \end{array} \right. \end{equation*} }\] Observación: Para encontrar la transformada inversa de Laplace de una función complicada, se puede convertir la función en la suma de términos más simples, cuya transformada de Lapl...
Clase 5 - Función de Transferencia
1. Función de transferencia Los modelos matemáticos descritos por ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace permiten convertir estos modelos en relaciones algebraicas equivalentes, las cuales permiten describir mejor la relación de causa y efecto del sistema. \[\large{ \begin{equation*} \left. \begin{array}{r} \textrm{modelos matemáticos}\\\textrm{} \\ \textrm{transformada de Laplace} \end{array} \right\}\textrm{modelos en relaciones algebraicas} \end{equation*} }\] Considerando el modelo de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede usar la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, lo que se le conoce como Función de Transferencia . \[\large{ FT(s) = \dfrac{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Salida} \right\}}{\mathcal{L} \left\{ \textrm{Entrada} \right\}} = \dfrac{\mathcal{L} \left\...
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