Clase 4 - Transformada Inversa de Laplace

1. Transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace, nos permite encontrar la función $f (t)$ desde una función $F (s)$. La transformada inversa se define como

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ F (s) \right\} = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} F (s) e^{st} ds = f (t) u(t) }\]

donde

\[\large{ \begin{align} u(t) & = 1 \qquad & t>0 \\ \nonumber\\ u(t) & = 0 \qquad & t<0 \end{align} }\]

es la función de escalón unitario.

Existen dos formas para obtener la transformada inversa de $F (s)$

\[\large{ \begin{equation*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ F (s) \right\} \left\{ \begin{array}{l} \textrm{Evaluando la convergencia de la integral} \\ \\ \textrm{Usando tablas de transformación} \end{array} \right. \end{equation*} }\]

Observación: Para encontrar la transformada inversa de Laplace de una función complicada, se puede convertir la función en la suma de términos más simples, cuya transformada de Laplace sea conocida. Para este objetivo se usa la expansión de fracciones parciales.

1.1. Ejemplos 

A continuación se presentan varios ejemplos de la obtención de la Transformada Inversa de Laplace

1.1.1. Ejemplo

Obténgase la transformada inversa de Laplace de $F\left( s \right) = \dfrac{{16s + 16}}{{{s^3} + 6{s^2} + 8s}}$.

 El primer paso es factorizar $F(s)$

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{16\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {{s^2} + 6s + 8} \right)}} }\]  

para hallar el valor de las raíces se usa la formula general

\[\large{ s = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}a }\]  

Las raíces son

\[\large{ \begin{align*} s &= \dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {{6^2} - 4\left( 1 \right)\left( 8 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {36 - 32} }}{2} \\ \\ & = \dfrac{{ - 6 \pm \sqrt 4 }}{2} = \dfrac{{ - 6 \pm 2}}{2}\\ \\ & = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{ - 6 + 2}}{2} = - 2\\ \dfrac{{ - 6 - 2}}{2} = - 4 \end{array} \right. \end{align*} }\]  

lo que permite reescribir $F(s)$ de la siguiente forma

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{16s + 16}}{{s\left( {{s^2} + 6s + 8} \right)}} = \dfrac{{16\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)\left( {s + 4} \right)}} }\]  

$F(s)$ se expande de forma general

\[\large{ \begin{align} F\left( s \right) = \dfrac{{16\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)\left( {s + 4} \right)}} = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}} + \dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 4} \right)}} \end{align} }\]  

se calcula $a_1$ de la siguiente forma

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{{16\left( {s + 1} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 4} \right)}}} \right|_{s = 0}} & = {\left. {s\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = 0}} + {\left. {s\dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} + {\left. {s\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 4} \right)}}} \right|_{s = 0}} \nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {\left. {\dfrac{{16\left( {0 + 1} \right)}}{{\left( {0 + 2} \right)\left( {0 + 4} \right)}}} \right|_{s = 0}} & = {a_1} + {\left. {0\dfrac{{{a_2}}}{{\left( {0 + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} + {\left. {0\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {0 + 4} \right)}}} \right|_{s = 0}}\nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {a_1} & = \dfrac{{16}}{8} = 2 \end{align} }\]  

Se calcula $a_2$

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{{16\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 4} \right)}}} \right|_{s = - 2}} =& {\left. {\left( {s + 2} \right)\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = - 2}} + {\left. {\left( {s + 2} \right)\dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 2}} \nonumber\\ & + {\left. {\left( {s + 2} \right)\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 4} \right)}}} \right|_{s = - 2}} \nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {\left. {\dfrac{{16\left( { - 2 + 1} \right)}}{{ - 2\left( { - 2 + 4} \right)}}} \right|_{s = - 2}} =& {\left. {\left( { - 2 + 2} \right)\dfrac{{{a_1}}}{{ - 2}}} \right|_{s = - 2}} + {a_2} + {\left. {\left( { - 2 + 2} \right)\dfrac{{{a_3}}}{{\left( { - 2 + 4} \right)}}} \right|_{s = - 2}} \nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {a_2} =& {\left. {\dfrac{{16\left( { - 1} \right)}}{{ - 2\left( 2 \right)}}} \right|_{s = - 2}} = {\left. {\dfrac{{ - 16}}{{ - 4}}} \right|_{s = - 2}} = 4 \end{align} }\]  

se calcula $a_3$

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{{16\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 4}} =& {\left. {\left( {s + 4} \right)\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = - 4}} + {\left. {\left( {s + 4} \right)\dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 4}} \nonumber\\ & + {\left. {\left( {s + 4} \right)\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 4} \right)}}} \right|_{s = - 4}} \nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {\left. {\dfrac{{16\left( { - 4 + 1} \right)}}{{ - 4\left( { - 4 + 2} \right)}}} \right|_{s = - 4}} =& {\left. {\left( { - 4 + 4} \right)\dfrac{{{a_1}}}{{ - 4}}} \right|_{s = - 4}} + {\left. {\left( { - 4 + 4} \right)\dfrac{{{a_2}}}{{\left( { - 4 + 2} \right)}}} \right|_{s = - 4}} + {a_3}\nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber\\ {a_3} =& {\left. {\dfrac{{16\left( { - 3} \right)}}{{ - 4\left( { - 2} \right)}}} \right|_{s = - 4}} = {\left. {\dfrac{{ - 48}}{8}} \right|_{s = - 4}} = - 6 \end{align} }\]  

Los valores de $a_1, a_2$ y $a_3$

\[\large{ \begin{align} {a_1} &= 2\\ \nonumber\\ {a_2} &= 4\\ \nonumber\\ {a_3} & = - 6 \end{align} }\]  

permiten reescribir $F(s)$ de la siguiente forma 

\[\large{ \dfrac{{16\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)\left( {s + 4} \right)}} = \dfrac{2}{s} + \dfrac{4}{{\left( {s + 2} \right)}} - \dfrac{6}{{\left( {s + 4} \right)}} }\]  

aplicando la transformada inversa de Laplace 

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{s} + \dfrac{4}{{\left( {s + 2} \right)}} - \dfrac{6}{{\left( {s + 4} \right)}}} \right\} }\]  

Usando la transformada de la exponencial 

\[\large{ \fbox{$e^{at} = \dfrac{1}{s-a}$} }\]  

se tiene 

\[\large{ \begin{align} 2 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{s}} \right\} & = 2 \\ \nonumber\\ 4 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right\} & = 4{e^{ - 2t}} \\ \nonumber\\ 6 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 4} \right)}}} \right\} & = 6{e^{ - 4t}} \end{align} }\]  

Finalmente se tiene que 

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{F \left( s \right)\right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{{16s + 16}}{{{s^3} + 6{s^2} + 8s}} \right\} }\]  

es 

\[\large{ \fbox{$2 + 4{e^{ - 2t}} - 6{e^{ - 4t}} \: \textrm{para} \: (t\geq 0)$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 233
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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syms s
num = 16*s+16;
den = s.^3+6*s.^2+8*s;
numP=sym2poly(num)
denP=sym2poly(den)
[r,p,k]=residue(numP, denP)
F = (num/den);
f = ilaplace(F) 

1.1.2. Ejemplo

Obténgase la transformada inversa de Laplace de $F\left( s \right) = \dfrac{{8s + 8}}{{{s^3} + 4{s^2} + 4s}}$.

 El primer paso es factorizar $F(s)$

\[\large{ F \left( s \right) = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {{s^2} + 4s + 4} \right)}} }\]  

para hallar el valor de las raíces se usa la formula general

\[\large{ s = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} }\]  

Las raíces son

\[\large{ \begin{align*} s &= \dfrac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4\left( 1 \right)4} }}{{2\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - 4 \pm \sqrt {16 - 16} }}{2} = \dfrac{{ - 4}}{2} = - 2\\ \\ &= \left\{ \begin{array}{l} - 2\\ - 2 \end{array} \right. \end{align*} }\]  

lo que permite reescribir $F(s)$ de la siguiente forma

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {{s^2} + 4s + 4} \right)}} = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)\left( {s + 2} \right)}} }\]  

$F(s)$ se expande de forma general

\[\large{ \begin{align} F\left( s \right) = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)\left( {s + 2} \right)}} = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}} + \dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}} \end{align} }\]  

se calcula $a_1$ de la siguiente forma

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} &= {\left. {s\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = 0}} + {\left. {s\dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} + {\left. {s\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} \nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {\left. {\dfrac{{8\left( {0 + 1} \right)}}{{\left( {0 + 2} \right)\left( {0 + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} &= {a_1} + {\left. {0\dfrac{{{a_2}}}{{\left( {0 + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} + {\left. {0\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {0 + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}}\nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {a_1} &= {\left. {\dfrac{8}{4}} \right|_{s = 0}} = 2 \end{align} }\]  

Se calcula $a_2$

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 2}} =& {\left. {\left( {s + 2} \right)\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = - 2}} + {\left. {\left( {s + 2} \right)\dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 2}} \nonumber\\ & + {\left. {\left( {s + 2} \right)\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 2}}\nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {\left. {\dfrac{{8\left( { - 2 + 1} \right)}}{{ - 2\left( { - 2 + 2} \right)}}} \right|_{s = - 2}} =& {\left. {\left( { - 2 + 2} \right)\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = - 2}} + {a_2} + {a_3}\nonumber\\ \nonumber\\ \nonumber \\ {a_2} + {a_3} =& {\left. {\dfrac{{8\left( { - 2 + 1} \right)}}{{ - 2\left( 0 \right)}}} \right|_{s = - 2}} = {\left. {\dfrac{{ - 8}}{0}} \right|_{s = - 2}} \end{align} }\] 

Observación: Como se observa usando este método $a_2 + a_3$ se define como \[\large{ \begin{equation*} {a_2} + {a_3} = \dfrac{{ - 8}}{0} \end{equation*} }\] es decir, no es posible obtener una solución ya que la división entre cero no está definida. Para resolver este tipo de problemas se usan fracciones parciales.

1.2. Fracciones parciales

Para hallar la transformada de $f(t)$, $F(s)$ se separa en componentes más sencillos

\[\large{ F(s) = F_1(s) + F_2(s) + \ldots + F_n(s) }\]

de esta forma si las transformadas inversas de $F_1(s), F_2(s), \ldots , F_n(s)$ existe y está fácilmente disponibles, entonces

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\} & = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F_1(s) \right\} + \mathcal{L}^{-1} \left\{ F_2(s) \right\} + \ldots + \mathcal{L}^{-1} \left\{ F_n(s) \right\}\nonumber\\ \nonumber\\ & = f_1(t) + f_2(t) + \ldots + f_n(t) \end{align} }\]

donde $f_1(t), f_2(t), \ldots , f_n(t)$ son las transformadas inversas de Laplace de $F_1(s), F_2(s), \ldots , F_n(s)$, respectivamente.

Observación: La transformada inversa de Laplace de $F(s)$ obtenida mediante esta técnica es única, excepto posiblemente en los puntos donde la función del tiempo es discontinua, es decir, donde quiera que la función del tiempo sea continua, la función del tiempo $f(t)$ y su transformada de Laplace $F(s)$ tendrán una correspondencia uno a uno.

En los problemas de análisis de sistemas, $F(s)$ se define de la forma

\[\large{ F (s) = \dfrac{A(s)}{B(s)} = \dfrac{K (s+z_1)(s+z_2)\ldots(s+z_m)}{(s+\rho_1)(s+\rho_2)\ldots(s+\rho_n)} }\]

 

donde $A(s)$ y $B(s)$ son polinomios en $s$, el grado de $A(s)$ de no es mayor que el grado de $B(s)$, $\rho_1, \rho_2, \ldots, \rho_n$ son los polos y $z_1, z_2, \ldots, z_m$ son los cero de la función (cantidades reales o complejas).

Observación: La ventaja de las fracciones parciales es que los términos individuales de $F(s)$ son funciones simples de $s$

Las fracciones parciales se clasifican de la siguiente forma

\[\large{ \begin{equation*} \textrm{Fraciones Parciales} \left\{ \begin{array}{l} \textrm{Caso 1. polos diferentes} \\ \\ \textrm{Caso 2. polos múltiples} \\ \\ \textrm{Caso 3. polos imaginarios} \end{array} \right. \end{equation*} }\]

1.2.1. Caso 1. polos diferentes

En este caso, $F(s)$ siempre se puede expandir en la suma de fracciones parciales simples, tal que

\[\large{ F(s) = \dfrac{A(s)}{B(s)} = \dfrac{a_1}{s + \rho_1} + \dfrac{a_2}{s + \rho_2} + \ldots + \dfrac{a_n}{s + \rho_n} }\]

donde $a_k$ $(k = 1, 2,\ldots, n)$ son constantes. El coeficiente $a_k$ se llama residuo del polo en $s = -\rho_k$.

El valor de $a_k$ puede encontrarse multiplicando ambos lados de esta última ecuación por $(s + \rho_k)$ y haciendo $s = -\rho_k$, lo cual da

\[\large{ \begin{align} \left[ \left( s + \rho_k \right) \dfrac{A \left( s \right)}{B \left( s \right)} \right]_{s = - \rho_k} &= \left[ \left( s + \rho_k \right) \dfrac{a_1}{s + \rho_1} + \left( s + \rho_k \right) \dfrac{a_2}{s + \rho_2} + \ldots \right. \nonumber\\ &\left.+ \left( s + \rho_k \right) \dfrac{a_k}{s + \rho_k} + \ldots + \left( s + \rho _k \right) \dfrac{a_n}{s + \rho_n} \right]_{s = -\rho_k}\nonumber\\ \nonumber\\ =& a_k \end{align} }\]

Se observa que todos los términos desaparecen con la excepción de $a_k$. Así, el residuo $a_k$ se define como

\[\large{ {a_k} = {\left[ {\left( {s + {\rho _k}} \right)\frac{{A\left( s \right)}}{{B\left( s \right)}}} \right]_{s = - {\rho _k}}} }\]

1.2.1.1. Ejemplos 

A continuación se presentan varios ejemplos del caso 1: Polos Diferentes

1.2.1.1.1. Ejemplo

Obténgase la transformada inversa de Laplace de $F\left( s \right) = \dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}$.

 La expansión en fracciones parciales de $F(s)$ es

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = \dfrac{{{a_1}}}{{\left( {s + 1} \right)}} + \dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}} }\]  

donde $a_1$ y $a_2$ son los valores que se desean hallar.

 

$a_1$ y $a_2$ se encuentran de la siguiente forma

\[\large{ \begin{align} {a_1} &= {\left[ {\left( {s + 1} \right)\dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}} \right]_{s = - 1}} = {\left[ {\dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right]_{s = - 1}} = 2\nonumber\\ \\ \nonumber\\ {a_2} &= {\left[ {\left( {s + 2} \right)\dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}} \right]_{s = - 2}} = {\left[ {\dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 1} \right)}}} \right]_{s = - 2}} = - 1 \nonumber\\ & \end{align} }\]  

Así se tiene

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{\left( {s + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {s + 2} \right)}} }\]  

Acomodando la ecuación se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = 2 \mathcal{L}^{ - 1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 1} \right)}}} \right\} - \mathcal{L}^{ - 1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right\} }\]  

Usando la formula de la exponencial

\[\large{ \fbox{$e^{-at} u(t) = \dfrac{1}{s+a}$} }\]  

se tiene

\[\large{ \begin{align} 2 \mathcal{L}^{ - 1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 1} \right)}}} \right\} &= 2{e^{ - t}}\\ \nonumber\\ \mathcal{L}^{ - 1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right\} &= {e^{ - 2t}} \end{align} }\]  

Finalmente se tiene que

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{F \left( s \right)\right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{{s + 3}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} \right\} }\]  

es

 

\[\large{ \fbox{$f \left( t \right) = 2 e^{-t} - e^{2t} \: \textrm{para} \: (t\geq 0)$} }\] 

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 234
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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syms s
num = (s+3);
den = (s+1)*(s+2);
numP=sym2poly(num)
denP=sym2poly(den)
[r,p,k]=residue(numP, denP)
F = (num/den);
f = ilaplace(F)

1.2.1.1.2. Ejemplo

Obténgase la transformada inversa de Laplace de $F\left( s \right) = \dfrac{2s + 12}{s^{2} + 2s + 5}$.

 El primer paso es expresar el denominador de la forma

\[\large{ B(s) = (s + b_n)(s + b_{n-1}) \ldots (s + b_1) (s + b_0) }\]  

para lo cual se usa la formula general,

\[\large{ s= \dfrac{- b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} }\]  

se resuelve el denominador

\[\large{ \begin{align} s & = \dfrac{{ - \left( 2 \right) \pm \sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( 5 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 20} }}{2} \nonumber\\ \nonumber \\ & = \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt { - 16} }}{2} = \dfrac{{ - 2 \pm 4i}}{2} \end{align} }\]  

así se tiene

\[\large{ s = \dfrac{{ - 2 \pm 4i}}{2} = \left\{ \begin{array}{l} - 1 + 2i\\ - 1 - 2i \end{array} \right. }\]

Observación: Si la función $F(s)$ involucra raíces complejas conjugadas, es conveniente no expandir $F(s)$ en las fracciones parciales usuales sino expandir en la suma de una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada. Las funciones seno y coseno amortiguadas se definen de la siguiente forma:

Funciones seno y coseno amortiguadas

$\large{f(t)}$	$\large{F(s)}$
$\large{{e^{ - \alpha t}}\mathrm{sen} \left( {\omega t} \right)}$	$\large{\dfrac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}}$
$\large{{e^{ - \alpha t}}\cos \left( {\omega t} \right)}$	$\large{\dfrac{{s + \alpha }}{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}}$

 

Ya que las raíces son complejas entonces se procede a obtener la representación adecuada

Numerador \[\large{ 2s + 12 = 2 \left( s + 1 \right) + 10 }\] Denominador \[\normalsize{ s^2 + 2s + 5 = s^2 + 2s + 1 + 4 = \left( s + 1 \right)^2 + 4 = \left( s + 1 \right)^2 + 2^2 }\]  

así se tiene

\[\large{ \begin{align} F \left( s \right) & = \dfrac{2s + 12}{s^2 + 2s + 5} = \dfrac{10 + 2 \left( s + 1 \right)}{\left( s + 1 \right)^2 + 2^2} \nonumber \\ \nonumber\\ & = \dfrac{10}{\left( s + 1 \right)^2 + 2^2} + \dfrac{{2\left( {s + 1} \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}} \end{align} }\]  

donde $\omega = 2$ y $\alpha = 1$.

 

Usando las fórmulas de la función trigonométrica amortiguada

\[\large{ \fbox{${e^{ - \alpha t}}{\rm{sen}}\left( {\omega t} \right) = \frac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}$} }\] \[\large{ \fbox{${e^{ - \alpha t}}\cos \left( {\omega t} \right) = \frac{{s + \alpha }}{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}$} }\]  

así se tiene

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {5 \dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \right\} & = 5 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \right\} = 5{e^{ - t}}\mathrm{sen} \left( {2t} \right)\nonumber\\ \\ \nonumber\\ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {2 \dfrac{{\left( {s + 1} \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \right\} & = 2 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{{\left( {s + 1} \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \right\} = 2 {e^{ - t}}\cos \left( {2t} \right) \nonumber\\ & \end{align} }\]  

donde $\omega = 2$ y $\alpha = 1$.

 

Finalmente se tiene que

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{F \left( s \right)\right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{2s + 12}{s^{2} + 2s + 5} \right\} }\]  

es

\[\large{ \fbox{$f \left( t \right) = 5{e^{ - t}}\mathrm{sen} \left( {2t} \right) + 2{e^{ - t}}\cos \left( {2t} \right) \: \textrm{para} \: (t\geq 0)$} }\] 

Observación: En este ejemplo de polos diferentes se obtuvieron raíces complejas y la solución se obtuvo usando la representación de funciones trigonométricas amortiguadas. Sin embargo, se en el Caso 3 se definirá la forma de resolver directamente este tipo de ejemplos.

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 235
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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syms s
num = 2*s+12;
den = s.^2+2*s+5;
numP=sym2poly(num)
denP=sym2poly(den)
[r,p,k]=residue(numP, denP)
F = (num/den);
f = ilaplace(F)

Observación: Para obtener la representación adecuada de la solución que se obtiene de Matlab:

\[\large{ f = 2*exp(-t)*(cos(2*t) + (5*sin(2*t))/2) }\]
se debe realizar la siguiente transformación

\[\large{ \begin{align} 2 e^{-t} \left[ \cos \left( 2t \right) + \dfrac{5 \mathrm{sen} \left( 2t \right)}{2} \right] &= 2 e^{-t}\cos \left( 2t \right) + \dfrac{2 e^{-t}5 \mathrm{sen}\left( 2t \right)}{2} \nonumber\\ \nonumber \\ & = 2 e^{-t}\cos\left( 2t \right) + 5e^{-t} \mathrm{sen}\left( 2t \right) \end{align} }\]

1.2.2. Caso 2. Polos múltiples

En este caso $F(s)$ está formada por polos con la misma base y un exponente tal que

\[\large{ F(s) = \dfrac{A(s)}{B(s)} = \dfrac{a_n}{\left(s + \rho \right)^{n}} + \ldots + \dfrac{a_2}{\left( s + \rho \right)^{2}} + \dfrac{a_1}{s + \rho} }\]

donde $a_k$ $(k = 1, 2,\ldots, n)$ se determina como sigue:

\[\normalsize{ \begin{align} {\left( {s + \rho } \right)^n}\dfrac{{A\left( s \right)}}{{B\left( s \right)}} & = {\left( {s + \rho } \right)^n}\dfrac{{{a_n}}}{{{{\left( {s + \rho } \right)}^n}}} + \ldots + {\left( {s + \rho } \right)^n}\dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + \rho } \right)}^2}}} + {\left( {s + \rho } \right)^n}\dfrac{{{a_1}}}{{s + \rho }}\nonumber\\ \nonumber\\ & = {a_n} + \ldots + {\left( {s + \rho } \right)^{n - 2}}{a_2} + {\left( {s + \rho } \right)^{n - 1}}{a_1} \end{align} }\]

lo que permite hallar los valores de $a_k$ $(k = 1, 2,\ldots, n)$ de la siguiente forma

\[\large{ \begin{array}{l} {a_n} = {\left[ {{{\left( {s + \rho } \right)}^n}\dfrac{{A\left( s \right)}}{{B\left( s \right)}}} \right]_{s = - \rho }}\\ \vdots \\ {a_1} = \dfrac{1}{{2!}}{\left\{ {\dfrac{{{d^2}}}{{d{s^2}}}\left[ {{{\left( {s + \rho } \right)}^{n - 1}}\dfrac{{A\left( s \right)}}{{B\left( s \right)}}} \right]} \right\}_{s = - \rho }} \end{array} }\]

1.2.2.1. Ejemplos 

A continuación se presentan varios ejemplos del caso 2: Polos Múltiples

1.2.2.1.1. Ejemplo

Obténgase la transformada inversa de Laplace de $F\left( s \right) = \dfrac{s^{2}+ 2s + 3}{ \left( s+1 \right)^{3}}$.

 Usando la ecuación

\[\large{ F(s) = \dfrac{A(s)}{B(s)} = \dfrac{a_n}{\left(s + \rho \right)^{n}} + \ldots + \dfrac{a_2}{\left( s + \rho \right)^{2}} + \dfrac{a_1}{s + \rho} }\]  

se tiene

\[\large{ F(s) = \dfrac{{A(s)}}{{B(s)}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}} + \dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a_1}}}{{\left( {s + 1} \right)}} }\]  

se despeja $A(s)$

\[\large{ \begin{align} s^2 + 2s + 3 & = \left( s + 1 \right)^3 \left[ \dfrac{a_3}{\left( s + 1 \right)^3} + \dfrac{a_2}{\left( s+1 \right)^2} + \dfrac{a_1}{\left( s + 1 \right)} \right]\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{\left( s + 1 \right)^3}{\left( s + 1 \right)^3}a_3 + \dfrac{\left( s+1 \right)^3}{\left( s+1 \right)^2}a_2 + \dfrac{\left( s + 1 \right)^3}{\left( s + 1 \right)}a_1\nonumber\\ \nonumber\\ s^2 + 2s + 3 & = a_3 + \left( s + 1 \right)a_2 + \left( s + 1 \right)^2 a_1 \end{align} }\]  

y se calcula $a_1, a_2$ y $a_3$ considerando que $s=-1$.

 

Así se tiene

\[\large{ \begin{align} {\left. {{s^2} + 2s + 3} \right|_{s = - 1}} & = {\left. {{a_3} + \left( {s + 1} \right){a_2} + {{\left( {s + 1} \right)}^2}{a_1}} \right|_{s = - 1}}\nonumber\\ \nonumber\\ {\left. {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2\left( { - 1} \right) + 3} \right|_{s = - 1}} & = {\left. {{a_3} + \left( { - 1 + 1} \right){a_2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2}{a_1}} \right|_{s = - 1}}\nonumber\\ \nonumber\\ 1 - 2 + 3 &= {a_3}\nonumber\\ \nonumber\\ a_3 & = 2 \end{align} }\]  

El siguiente paso es derivar $s^2 + 2s + 3 = a_3 + \left( s + 1 \right)a_2 + \left( s + 1 \right)^2 a_1$

\[\large{ \begin{align} \dfrac{d}{{ds}}\left[ {{s^2} + 2s + 3} \right] & = \dfrac{d}{{ds}}\left[ {{a_3} + \left( {s + 1} \right){a_2} + {{\left( {s + 1} \right)}^2}{a_1}} \right] \nonumber\\ \nonumber \\ 2s + 2 & = \dfrac{d}{{ds}}\left[ {{a_3} + {a_2}s + {a_2} + {a_1}{s^2} + 2{a_1}s + {a_1}} \right]\nonumber\\ \nonumber \\ 2s + 2& = {a_2} + 2{a_1}s + 2{a_1}\nonumber\\ \nonumber\\ 2\left( {s + 1} \right) & = {a_2} + 2{a_1}\left( {s + 1} \right) \end{align} }\]  

y evaluar considerando $s=-1$

\[\large{ \begin{align} {\left. {2\left( {s + 1} \right)} \right|_{s = - 1}} & = {\left. {{a_2} + 2{a_1}\left( {s + 1} \right)} \right|_{s = - 1}}\nonumber\\ \nonumber\\ {\left. {2\left( { - 1 + 1} \right)} \right|_{s = - 1}} & = {\left. {{a_2} + 2{a_1}\left( { - 1 + 1} \right)} \right|_{s = - 1}}\nonumber\\ \nonumber \\ a_2 & = 0 \end{align} }\]  

Se prosigue a derivar $2s+2 = {a_2} + 2{a_1}s + 2{a_1}$

\[\large{ \begin{align} \dfrac{d}{{ds}}\left[ {2s + 2} \right] & = \dfrac{d}{{ds}}\left[ {{a_2} + 2{a_1}s + 2{a_1}} \right]\nonumber\\ \nonumber\\ 2 & = 2{a_1}\nonumber\\ \nonumber\\ a_1 & = 1 \end{align} }\]  

así se tiene

\[\large{ \begin{align} {a_1} & = 1\\ \nonumber \\ {a_2} & = 0\\ \nonumber\\ {a_3} & = 2 \end{align} }\]  

Sustituyendo los valores de $a_1, a_2$ y $a_3$ en la ecuación

\[\large{ \begin{align} F(s) & = \dfrac{{{s^2} + 2s + 3}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}} + \dfrac{0}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{\left( {s + 1} \right)}} \nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}} + \dfrac{1}{{\left( {s + 1} \right)}} \end{align} }\]  

se tiene

\[\normalsize{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}} + \dfrac{1}{{\left( {s + 1} \right)}}} \right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}}} \right\} + \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 1} \right)}}} \right\} }\]

Observación: Algunas transformadas de Laplace de exponenciales son las siguientes:

Transformada de Laplace de exponenciales

$\large{f(t)}$	$\large{F(s)}$
$\large{e^{at}}$	$\large{\dfrac{1}{s-a}}$
$\large{t^{n}e^{at}, n=1,2, \ldots}$	$\large{\dfrac{n!}{\left( s-a \right)^{n+1}}}$

 

Usando la siguiente transformada para $n=2$ y $a=-1$

\[\large{ \fbox{${t^n}{e^{at}} = \frac{{n!}}{{{{\left( {s - a} \right)}^{n + 1}}}}$} }\]  

se tiene 

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}}} \right\} = \dfrac{{2!}}{{{{\left( {s - \left( { - 1} \right)} \right)}^{2 + 1}}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^3}}} = {t^2}{e^{ - t}} }\]  

Usando la siguiente transformada 

\[\large{ \fbox{$e^{at} = \dfrac{1}{s-a}$} }\]  

se tiene 

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 1} \right)}}} \right\} = {e^{ - t}} }\]  

donde $\omega = 2$ y $\alpha = 1$. 

 

Finalmente se tiene que

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{F \left( s \right)\right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{s^{2}+ 2s + 3}{ \left( s+1 \right)^{3}} \right\} }\]  

es

\[\large{ \fbox{$f \left( t \right) = e^{-t}+t^{2} e^{-t} \: \textrm{para} \: (t\geq 0)$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 236
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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syms s
num = s.^2+2*s+3;
den = (s+1).^3;
numP=sym2poly(num)
denP=sym2poly(den)
[r,p,k]=residue(numP, denP)
F = (num/den);
f = ilaplace(F)  

1.2.2.1.2. Ejemplo

En este ejemplo se retoma \[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{8s + 8}}{{{s^3} + 4{s^2} + 4s}} }\] cuyo resultado obtenido previamente fue \[\large{ a_2 + a_3 = -\dfrac{8}{0} }\]

Obténgase la transformada inversa de Laplace de $F\left( s \right) = \dfrac{{8s + 8}}{{{s^3} + 4{s^2} + 4s}}$.

 El primer paso es factorizar $F(s)$

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {{s^2} + 4s + 4} \right)}} }\]  

para hallar el valor de las raíces se usa la fórmula general

\[\large{ s = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} }\]  

Las raíces son

\[\large{ \begin{align*} s &= \dfrac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4\left( 1 \right)4} }}{{2\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - 4 \pm \sqrt {16 - 16} }}{2} = \dfrac{{ - 4}}{2} = - 2\\ & = \left\{ \begin{array}{l} - 2\\ - 2 \end{array} \right. \end{align*} }\]  

lo que permite reescribir $F(s)$ de la siguiente forma

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {{s^2} + 4s + 4} \right)}} = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)\left( {s + 2} \right)}} = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} }\]  

$F(s)$ se expande de forma general

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}} }\]  

se calcula $a_1$ de la siguiente forma

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}}} \right|_{s = 0}} &= s{\left. {\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = 0}} + s{\left. {\dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}}} \right|_{s = 0}} + s{\left. {\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} \nonumber\\ \nonumber\\ {\left. {\dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{{s^2} + 4s + 4}}} \right|_{s = 0}} &= {a_1} + s{\left. {\dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}}} \right|_{s = 0}} + s{\left. {\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}} \nonumber\\ \nonumber\\ {\left. {\dfrac{{8\left( {0 + 1} \right)}}{{{{\left( 0 \right)}^2} + 4\left( 0 \right) + 4}}} \right|_{s = 0}} &= {a_1} + 0{\left. {\dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}}} \right|_{s = 0}} + 0{\left. {\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {0 + 2} \right)}}} \right|_{s = 0}}\nonumber\\ \nonumber\\ {a_1} &= \dfrac{8}{4} = 2 \end{align} }\]  

Se calcula $a_2$

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{s}} \right|_{s = - 2}} =& {\left. {{{\left( {s + 2} \right)}^2}\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = - 2}} + {\left. {{{\left( {s + 2} \right)}^2}\dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}}} \right|_{s = - 2}} \nonumber\\ \nonumber\\ & + {\left. {{{\left( {s + 2} \right)}^2}\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 2}} \nonumber\\ {\left. {\dfrac{{8\left( { - 2 + 1} \right)}}{{ - 2}}} \right|_{s = - 2}} =& {\left. {{{\left( { - 2 + 2} \right)}^2}\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = - 2}} + {a_2} + {\left. {{{\left( { - 2 + 2} \right)}^2}\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 2}}\nonumber\\ \nonumber\\ {a_2} =& {\left. {\dfrac{{8\left( { - 1} \right)}}{{ - 2}}} \right|_{s = - 2}} = {\left. {\dfrac{{ - 8}}{{ - 2}}} \right|_{s = - 2}} = 4 \end{align} }\]  

Para calcula $a_3$ se debe acomodar la ecuación

\[\large{ \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}} }\]  

así se tiene

\[\large{ \begin{align} \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} & = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}}\nonumber\\ \nonumber\\ 8\left( {s + 1} \right) & = s{\left( {s + 2} \right)^2}\dfrac{{{a_1}}}{s} + s{\left( {s + 2} \right)^2}\dfrac{{{a_2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} + s{\left( {s + 2} \right)^2}\dfrac{{{a_3}}}{{\left( {s + 2} \right)}}\nonumber\\ \nonumber\\ 8s + 8 & = {\left( {s + 2} \right)^2}{a_1} + s{a_2} + s\left( {s + 2} \right){a_3}\nonumber\\ \nonumber\\ 8s + 8 & = \left( {{s^2} + 4s + 4} \right){a_1} + s{a_2} + \left( {{s^2} + 2s} \right){a_3}\nonumber\\ \nonumber\\ 8s + 8 & = {s^2}{a_1} + 4s{a_1} + 4{a_1} + s{a_2} + {s^2}{a_3} + 2s{a_3} \end{align} }\]  

y derivar la ecuación resultante

\[\large{ \begin{align} \dfrac{d}{{ds}}\left( {8s + 8} \right) & = \dfrac{d}{{ds}}\left( {{s^2}{a_1} + 4s{a_1} + 4{a_1} + s{a_2} + {s^2}{a_3} + 2s{a_3}} \right) \nonumber\\ \nonumber\\ 8 & = 2{a_1}s + 4{a_1} + {a_2} + 2{a_3}s + 2{a_3} \end{align} }\]  

y después se sustituyen los valores obtenidos $s=-2$, $a_1$ y $a_2$

\[\large{ \begin{align} 8 & = 2\left( 2 \right)\left( { - 2} \right) + 4\left( 2 \right) + 4 + 2{a_3}\left( { - 2} \right) + 2{a_3} \nonumber\\ \nonumber \\ 8 & = - 8 + 8 + 4 - 4{a_3} + 2{a_3} \nonumber\\ \nonumber \\ {a_3} & = \dfrac{4}{{ - 2}} = - 2 \end{align} }\]  

Los valores de $a_1, a_2$ y $a_2$

\[\large{ \begin{align} {a_1} & = 2\\ \nonumber\\ {a_2} & = 4\\ \nonumber\\ {a_3} & = - 2 \end{align} }\]  

permiten reescribir $F(s)$ de la siguiente forma

\[\large{ \dfrac{{8\left( {s + 1} \right)}}{{s{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{s} + \dfrac{4}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{{\left( {s + 2} \right)}} }\]  

aplicando la transformada inversa de Laplace

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{s} + \dfrac{4}{{\left( {s + 2} \right)}^{2}} - \dfrac{2}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right\} }\]  

Usando la transformada de la exponencial

\[\large{ \fbox{$e^{-at} = \dfrac{1}{s+a}$} }\]  

se tiene 

\[\large{ \begin{align} 2 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{s}} \right\} & = 2 \\ \nonumber\\ 2 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right\} & = 2{e^{ - 2t}} \end{align} }\]  

Usando la transformada de la exponencial

\[\large{ \fbox{$t e^{-at} = \dfrac{1}{\left( s+a \right)^{2}}$} }\]  

se tiene

\[\large{ \begin{align*} 4 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{{\left( {s + 2} \right)^{2}}}} \right\} &= 4t{e^{ - 2t}} \\ \end{align*} }\]  

Finalmente se tiene que

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{F \left( s \right)\right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{{8s + 8}}{{{s^3} + 4{s^2} + 4s}} \right\} }\]  

es

\[\large{ \fbox{$2 - 2 e^{-2t} + 4 t e^{-2t} \: \textrm{para} \: (t\geq 0)$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 237
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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clc

syms s
num = 8*s+8;
den = s.^3+4*s.^2+4*s;
numP=sym2poly(num)
denP=sym2poly(den)
[r,p,k]=residue(numP, denP)
F = (num/den);
f = ilaplace(F)   

1.2.3. Caso 3. Polos complejos

Sea una función $F(s)$ en la cual algunas raíces del polinomio del denominador son complejas y cuya estructura tiene la siguiente forma

\[\large{ F \left( s \right) = \dfrac{A \left( s \right)}{B \left( s \right)} = \dfrac{A \left( s \right)}{s \left( s + \rho \right)\left( s + \overline \rho \right)} }\]

donde $\rho$ es una raíz compleja. La ecuación se resuelve de la siguiente forma

\[\large{ \dfrac{{A\left( s \right)}}{{s\left( {s + \rho } \right)\left( {s + \overline \rho } \right)}} = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{\left( {s + \rho } \right)\left( {s + \overline \rho } \right)}} }\]

1.2.3.1. Ejemplos 

A continuación se presentan varios ejemplos del caso 3: Polos Complejos

1.2.3.1.1. Ejemplo

Obténgase la transformada inversa de Laplace de $F\left( s \right) = \dfrac{{16s + 26}}{{{s^3} + 4{s^2} + 13s}}$.

 El primer paso es factorizar $F(s)$

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{{16s + 26}}{{s\left( {{s^2} + 4s + 13} \right)}} }\]  

para hallar el valor de las raíces se usa la fórmula general

\[\large{ s = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} }\]  

Las raíces son

\[\large{ \begin{align*} s &= \dfrac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4\left( 1 \right)\left( {13} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - 4 \pm \sqrt {16 - 52} }}{2} = \dfrac{{ - 4 \pm \sqrt { - 36} }}{2} \\ & = \dfrac{{ - 4 \pm 6i}}{2}\\ \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{ - 4 \pm 6i}}{2} = - 2 + 3i\\ \dfrac{{ - 4 \pm 6i}}{2} = - 2 - 3i \end{array} \right. \end{align*} }\]  

Como las raíces son complejas se reescribe la ecuación de la siguiente forma

\[\large{ F \left( s \right) = \dfrac{{16s + 26}}{{s\left( {{s^2} + 4s + 13} \right)}} = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{{s^2} + 4s + 13}} }\]  

Se calcula $a_1$

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{{16s + 26}}{{\left( {{s^2} + 4s + 13} \right)}}} \right|_{s = 0}} =& {\left. {s\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = 0}} + {\left. {s\dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{{s^2} + 4s + 13}}} \right|_{s = 0}} \nonumber\\ \nonumber\\ {\left. {\dfrac{{16\left( 0 \right) + 26}}{{\left( {{0^2} + 4\left( 0 \right) + 13} \right)}}} \right|_{s = 0}} =& {a_1} + {\left. {0\dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{{s^2} + 4s + 13}}} \right|_{s = 0}}\nonumber\\ \nonumber\\ {a_1} =& \dfrac{{26}}{{13}}\nonumber\\ \nonumber\\ a_1= & 2 \end{align} }\]  

Los valores de $a_2$ y $a_3$ no se pueden calcular de esta forma, $a_2$ y $a_3$ se pueden determinar despejando $A(s)$ de la ecuación

\[\large{ \dfrac{{A\left( s \right)}}{{B\left( s \right)}} = \dfrac{{16s + 26}}{{s\left( {{s^2} + 4s + 13} \right)}} = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{{s^2} + 4s + 13}} }\]  

así se tiene

\[\large{ \begin{align} 16s + 26 &= s\left( {{s^2} + 4s + 13} \right)\dfrac{{{a_1}}}{s} + s\left( {{s^2} + 4s + 13} \right)\dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{{s^2} + 4s + 13}}\nonumber\\ \nonumber\\ 16s + 26 &= \left( {{s^2} + 4s + 13} \right){a_1} + s\left( {{a_2}s + {a_3}} \right)\nonumber\\ \nonumber\\ 16s + 26 &= {a_1}{s^2} + {a_2}{s^2} + 4s{a_1} + {a_3}s + 13{a_1}\nonumber\\ \nonumber\\ 16s + 26 &= \left( {{a_1} + {a_2}} \right){s^2} + \left( {4{a_1} + {a_3}} \right)s + 13{a_1} \end{align} }\]  

se sustituye el valor de $a_1=2$

\[\large{ \begin{align} 16s + 26 &= \left( {{a_1} + {a_2}} \right){s^2} + \left( {4{a_1} + {a_3}} \right)s + 13{a_1}\nonumber\\ \nonumber\\ 16s + 26 & = \left( {2 + {a_2}} \right){s^2} + \left( {8 + {a_3}} \right)s + 26 \end{align} }\]  

y se comparan ambos lados de la igualdad

\[\large{ \begin{align} 0 & = \left( {2 + {a_2}} \right){s^2}\nonumber\\ \nonumber \\ 16s & = \left( {8 + {a_3}} \right)s\nonumber\\ \nonumber \\ 26 & = 26 \end{align} }\]  

Para cumplir las igualdades se tiene que

\[\large{ \begin{align} {a_2} & = - 2\\ \nonumber \\ {a_3} & = 8 \end{align} }\]  

Los valores de $a_1, a_2$ y $a_2$

\[\large{ \begin{align} {a_1} & = 2\\ \nonumber\\ {a_2} & = -2\\ \nonumber\\ {a_3} & = 8 \end{align} }\]  

permiten reescribir $F(s)$ de la siguiente forma

\[\large{ \dfrac{{16s + 26}}{{s\left( {{s^2} + 4s + 13} \right)}} = \dfrac{2}{s} + \dfrac{{ - 2s + 8}}{{{s^2} + 4s + 13}} }\]

Observación: La ecuación que contiene las raíces complejas debe ser manipulada algebraicamente para obtener expresiones para las cuales se reconozcan fácilmente las transformadas inversas.

 

El siguiente paso es manipular $\dfrac{{ - 2s + 8}}{{{s^2} + 4s + 13}}$, para lo cual se considera las siguientes ecuaciones

\[\large{ \begin{align} {\left( {s + 1} \right)^2} & = {s^2} + 2s + 1\\ \nonumber\\ {\left( {s + 2} \right)^2} & = {s^2} + 4s + 4 \end{align} }\]  

se observa que $F(s)$ puede escribirse como

\[\large{ \dfrac{2}{s} + \dfrac{{ - 2s + 8}}{{{s^2} + 4s + 13}} = \dfrac{2}{s} + \dfrac{{ - 2s + 8}}{{{s^2} + 4s + 4 + 9}} = \dfrac{2}{s} + \dfrac{{ - 2s + 8}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}} }\]  

Con respecto al denominador, el numerador se puede escribir como

\[\large{ \begin{align} \dfrac{2}{s} + \dfrac{{ - 2s + 8}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}} & = \dfrac{2}{s} + \dfrac{{ - 2s - 4 + 12}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}} \nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{2}{s} + \dfrac{{ - 2\left( {s + 2} \right)}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}} + \dfrac{{4\left( 3 \right)}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}} \end{align} }\]  

La transformada inversa de Laplace de $F(s)$ puede escribirse como 

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{s} + \dfrac{{ - 2\left( {s + 2} \right)}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}} + \dfrac{{4\left( 3 \right)}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}}} \right\} }\]  

así se tiene

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{s}} \right\} &= 2 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{s}} \right\} = 2\\ \nonumber\\ - 2 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{{\left( {s + 2} \right)}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}}} \right\} &= - 2{e^{ - 2t}}\cos \left( {3t} \right)\\ \nonumber\\ 4 \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{{\left( 3 \right)}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + {3^2}}}} \right\} &= 4{e^{ - 2t}}\mathrm{sen} \left( {3t} \right) \end{align} }\]

Observación: Si la función $F(s)$ involucra raíces complejas conjugadas, es conveniente no expandir $F(s)$ en las fracciones parciales usuales sino expandir en la suma de una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada. Las funciones seno y coseno amortiguadas se definen de la siguiente forma:

Funciones seno y coseno amortiguadas

$\large{f(t)}$	$\large{F(s)}$
$\large{{e^{ - \alpha t}}\mathrm{sen} \left( {\omega t} \right)}$	$\large{\dfrac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}}$
$\large{{e^{ - \alpha t}}\cos \left( {\omega t} \right)}$	$\large{\dfrac{{s + \alpha }}{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}}$

 

Finalmente se tiene que

\[\large{ \mathcal{L}^{-1} \left\{F \left( s \right)\right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{{16s + 26}}{{{s^3} + 4{s^2} + 13s}} \right\} }\]  

es

\[\large{ \fbox{$2 - 2{e^{ - 2t}}\cos \left( {3t} \right) + 4{e^{ - 2t}}\mathrm{sen} \left( {3t} \right) \: \textrm{para} \: (t\geq 0)$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 238
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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syms s
num = 16*s+26;
den = s*(s.^2+4*s+13);
numP=sym2poly(num)
denP=sym2poly(den)
[r,p,k]=residue(numP, denP) 
F = (num/den);
f = ilaplace(F) 

Observación: Para obtener la representación adecuada de la solución que se obtiene de Matlab:

\[\large{ f = 2 - 2*exp(-2*t)*(cos(3*t) - 2*sin(3*t)) }\]
se debe realizar la siguiente transformación

\[\large{ 2 - 2{e^{ - 2t}}\left( {\cos \left( {3t} \right) - 2\mathrm{sen} \left( {3t} \right)} \right) = 2 - 2{e^{ - 2t}}\cos \left( {3t} \right) + 4{e^{ - 2t}}\mathrm{sen} \left( {3t} \right) }\]

1.3. Ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo 

Las ventajas de usar la transformadas de Laplace son:

1. Permite obtener la solución completa (solución homogénea y solución particular) de las ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo de una forma algebraica




2. No se requiere de evaluar las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales (métodos clásicos) ya que las condiciones iniciales se incluyen automáticamente.




3. Si todas las condiciones iniciales son cero, la transformada de Laplace de la ecuación diferencial se obtiene simplemente reemplazando $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}$ por $s$ y $\dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}$ por $s^{2}$ y así sucesivamente.

Para obtener la solución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo mediante el método de la transformada de Laplace se requieren dos pasos:

1. Convertir cada término de la ecuación diferencia en una ecuación algebraica en términos de $s$.




2. Obtener la solución en el tiempo de la ecuación diferencial hallando la transformada inversa de Laplace

1.3.1. Ejemplos 

A continuación se presentan varios ejemplos del ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo

1.3.1.1. Ejemplo

Hallar la solución $x(t)$ de la ecuación diferencial

\[\large{ \ddot{x} + 3 \dot{x} + 2x = 0 }\]  

Primero se considera la transformada de $x(t)$

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ x(t) \right\} = X(s) }\]  

lo que permite hallar

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L} \left\{ \dot{x} \right\} & = s X(s) - x(0) \\ \nonumber\\ \mathcal{L} \left\{ \ddot{x} \right\} & = s^{2} X(s) - s x(0) - \dot{x}(0) \end{align} }\]  

sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene

\[\large{ \left( s^{2} X(s) - s x(0) - \dot{x}(0) \right) + 3 \left( s X(s) - x(0) \right) + 2 X(s) = 0 }\]  

se sustituyen las condiciones iniciales y se reduce la ecuación

\[\large{ \begin{align} \left( {{s^2}X(s) - sa - b} \right) + 3\left( {sX(s) - a} \right) + 2X(s) & = 0\nonumber\\ \nonumber\\ {s^2}X(s) - sa - b + 3sX(s) - 3a + 2X(s) & = 0\nonumber\\ \nonumber\\ \left[ {{s^2} + 3s + 2} \right]X(s) & = sa + 3a + b \nonumber\\ & \end{align} }\]  

Resolviendo la ecuación para $X(s)$ se tiene

\[\large{ X(s) = \dfrac{{sa + 3a + b}}{{{s^2} + 3s + 2}} }\]  

Numerador

\[\large{ sa + 3a + b = \left( {s + 3} \right)a + b }\]  

Denominador

\[\normalsize{ \begin{align*} s &= \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt {{3^2} - 4\left( 1 \right)\left( 2 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt {9 - 8} }}{2} = \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 1 }}{2}\\ &= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1\\ \\ \dfrac{{ - 3 - 1}}{2} = - 2 \end{array} \right. \end{align*} }\]  

reescribiendo $X(s)$

\[\large{ X(s) = \dfrac{{sa + 3a + b}}{{{s^2} + 3s + 2}} = \dfrac{{\left( {s + 3} \right)a + b}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} }\]  

aplicando fracciones parciales se tiene

\[\large{ X(s) = \dfrac{{\left( {s + 3} \right)a + b}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = \dfrac{{{a_1}}}{{\left( {s + 1} \right)}} + \dfrac{{{a_2}}}{{\left( {s + 2} \right)}} }\]  

hallando $a_1$ y $a_2$ se tiene

\[\large{ \begin{align} {a_1} & = {\left. {\left( {s + 1} \right)\dfrac{{\left( {s + 3} \right)a + b}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 1}} = {\left. {\dfrac{{\left( {s + 3} \right)a + b}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 1}} \nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{{\left( { - 1 + 3} \right)a + b}}{{\left( { - 1 + 2} \right)}} = \dfrac{{2a + b}}{1} = 2a + b\\ \nonumber\\ \nonumber\\ {a_2} & = {\left. {\left( {s + 2} \right)\dfrac{{\left( {s + 3} \right)a + b}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s = - 2}} = {\left. {\dfrac{{\left( {s + 3} \right)a + b}}{{\left( {s + 1} \right)}}} \right|_{s = - 2}} \nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{{\left( { - 2 + 3} \right)a + b}}{{\left( { - 2 + 1} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{ - 1}} = - \left( {a + b} \right) \end{align} }\]  

Sustituyendo los valores de $a_1$ y $a_2$ se tiene

\[\large{ X(s) = \dfrac{{\left( {s + 3} \right)a + b}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = \dfrac{{2a + b}}{{s + 1}} - \dfrac{{a + b}}{{s + 2}} }\]  

aplicando la transformada inversa de Laplace se tiene

\[\large{ \begin{align} x \left( t \right) & = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X \left( s \right) \right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{2a + b}{s + 1} - \dfrac{a + b}{s + 2} \right\} \nonumber\\ \nonumber\\ & = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{2a + b}{s + 1} \right\} - \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{a + b}{s + 2} \right\} \end{align} }\]  

Usando la formula de la exponencial

\[\large{ \fbox{$e^{-at} u(t) = \dfrac{1}{s+a}$} }\]  

se tiene

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{{2a + b}}{{s + 1}}} \right\} & = \left( {2a + b} \right) \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{{s + 1}}} \right\} = \left( {2a + b} \right){e^{ - t}}\\ \nonumber\\ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{{a + b}}{{s + 2}}} \right\} & = \left( {a + b} \right) \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{{s + 2}}} \right\} = \left( {a + b} \right){e^{ - 2t}} \end{align} }\]  

Finalmente se tiene que la solución de la ecuación diferencial 

\[\large{ \ddot{x} + 3 \dot{x} + 2x = 0 }\]  

para $x(0) = a$, $\dot{x}(0)=b$ donde $a$ y $b$ son constantes es

\[\large{ \fbox{$x\left( t \right) = \left( {2a + b} \right){e^{ - t}} - \left( {a + b} \right){e^{ - 2t}}$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 239
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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syms s a b
num = s*a+3*a+b;
den = s.^2+3*s+2;
F1 = ((2*a+b)/(s+1));
f1 = ilaplace(F1);
F2 = ((a+b)/(s+2));
f2 = ilaplace(F2);
x = f1 - f2 

Observación: Adviértase que las condiciones iniciales $a$ y $b$ aparecen en la solución, así que $x(t)$ no tiene constantes indeterminadas.

1.3.1.2. Ejemplo

Hallar la solución $x(t)$ de la ecuación diferencial

\[\large{ \ddot x + 2\dot x + 5x = 3 }\]  

para $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = 0$.

 

Primero se considera la transformada de $x(t)$

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ x(t) \right\} = X(s) }\]  

lo que permite hallar

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L} \left\{ \dot{x} \right\} & = s X(s) - x(0)\\ \nonumber\\ \mathcal{L} \left\{ \ddot{x} \right\} & = s^{2} X(s) - s x(0) - \dot{x}(0) \end{align} }\]  

sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene

\[\large{ \left( s^{2} X(s) - s x(0) - \dot{x}(0) \right) + 2 \left( s X(s) - x(0) \right) + 5 X(s) = 3 }\]  

se sustituyen las condiciones iniciales se reduce la ecuación

\[\large{ \begin{align} \left( {{s^2}X\left( s \right) - sx\left( 0 \right) - \dot x\left( 0 \right)} \right) + 2\left( {sX\left( s \right) + x\left( 0 \right)} \right) + 5X\left( s \right) & = 3 \mathcal{L}^{-1} \left\{ 1 \right\}\nonumber\\ \nonumber\\ {s^2}X\left( s \right) + 2sX\left( s \right) + 5X\left( s \right) & = 3\dfrac{1}{s}\nonumber\\ & \end{align} }\]  

Resolviendo la ecuación para $X(s)$ se tiene

\[\large{ \begin{align} \left( {{s^2} + 2s + 5} \right) X\left( s \right) & = 3 \dfrac{1}{s}\nonumber\\ \nonumber\\ X\left( s \right) & = \dfrac{3}{{s\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}} \end{align} }\]  

Obteniendo las raíces

\[\large{ \begin{align*} s &= \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {{2^2} - 4\left( 1 \right)\left( 5 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 20} }}{2} \\ & = \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt { - 16} }}{2} = \dfrac{{ - 2 \pm 4i}}{2}\\ \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{ - 2 \pm 4i}}{2} = - 1 + 2i\\ \dfrac{{ - 2 \pm 4i}}{2} = - 1 - 2i \end{array} \right. \end{align*} }\]  

Como las raíces son complejas se reescribe la ecuación de la siguiente forma

\[\large{ F \left( s \right) = \dfrac{3}{{s\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}} = \dfrac{{{a_1}}}{s} + \dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}} }\]  

Resolviendo para obtener $a_1$ considerando $s=0$ se tiene

\[\large{ \begin{align} {\left. {\dfrac{3}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}}} \right|_{s = 0}} & = {\left. {s\dfrac{{{a_1}}}{s}} \right|_{s = 0}} + {\left. {s\dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}}} \right|_{s = 0}}\nonumber\\ \nonumber\\ {\left. {\dfrac{3}{{\left( {{0^2} + 2\left( 0 \right) + 5} \right)}}} \right|_{s = 0}} & = {a_1} + {\left. {0\dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}}} \right|_{s = 0}}\nonumber\\ {a_1} & = \dfrac{3}{5} \end{align} }\]  

Los valores de $a_2$ y $a_3$ se calculan despejando $A(s)$ de la ecuación

\[\large{ \begin{align} 3 & = s\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)\dfrac{{{a_1}}}{s} + s\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)\dfrac{{{a_2}s + {a_3}}}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}}\nonumber\\ \nonumber\\ 3 & = \left( {{s^2} + 2s + 5} \right){a_1} + s\left( {{a_2}s + {a_3}} \right)\nonumber\\ \nonumber\\ 3 & = {s^2}{a_1} + 2s{a_1} + 5{a_1} + {a_2}{s^2} + {a_3}s\nonumber\\ \nonumber\\ 3 & = {s^2}{a_1} + {a_2}{s^2} + 2s{a_1} + {a_3}s + 5{a_1}\nonumber\\ \nonumber\\ 3 & = \left( {{a_1} + {a_2}} \right){s^2} + \left( {2{a_1} + {a_3}} \right)s + 5{a_1} \end{align} }\]  

se sustituye el valor de $a_1 = \dfrac{3}{5}$

\[\large{ \begin{align} 3 & = \left( {\dfrac{3}{5} + {a_2}} \right){s^2} + \left( {2\left( {\dfrac{3}{5}} \right) + {a_3}} \right)s + 5\left( {\dfrac{3}{5}} \right)\nonumber\\ \nonumber \\ 3 & = \left( {\dfrac{3}{5} + {a_2}} \right){s^2} + \left( {\dfrac{6}{5} + {a_3}} \right)s + 3 \end{align} }\]  

y comparando ambos lados de la igualdad se tiene

\[\large{ \begin{align} {a_1} &= \dfrac{3}{5}\\ \nonumber \\ {a_2} &= - \dfrac{3}{5}\\ \nonumber \\ {a_3} &= - \dfrac{6}{5} \end{align} }\]  

Ahora se puede reescribiendo F(s) de la siguiente forma

\[\large{ \begin{align} F(s)&=\dfrac{3}{{s\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}} \nonumber\\ \nonumber\\ &= \dfrac{3}{5}\dfrac{1}{s} - \dfrac{3}{5}\dfrac{s}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}} - \dfrac{6}{5}\dfrac{1}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}} \end{align} }\]

Observación: La ecuación que contiene las raíces complejas debe ser manipulada algebraicamente para obtener expresiones para las cuales se reconozcan fácilmente las transformadas inversas.

\[\large{ F(s) = \dfrac{3}{5}\dfrac{1}{s} - \dfrac{3}{5}\dfrac{s}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}} - \dfrac{6}{5}\dfrac{1}{{\left( {{s^2} + 2s + 5} \right)}} }\]  

Considerando

\[\large{ {\left( {s + 1} \right)^2} = {s^2} + 2s + 1 }\]  

se puede manipular la ecuación de la siguiente forma

\[\large{ F(s)=\dfrac{3}{5}\dfrac{1}{s} - \dfrac{3}{5}\dfrac{s}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}} - \dfrac{6}{5}\dfrac{1}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}} }\]  

Usando las formulas de la función trigonométrica amortiguada

\[\large{ \fbox{${e^{ - \alpha t}}\mathrm{sen} \left( {\omega t} \right) = \dfrac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}$} }\] \[\large{ \fbox{${e^{ - \alpha t}}\cos \left( {\omega t} \right) = \dfrac{{s + \alpha }}{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}$} }\]  

se observa que se necesita completar el numerador para poder aplicar las ecuaciones.

 

Completando el numerador se tiene

\[\normalsize{ \begin{align} F(s) & =\dfrac{3}{5}\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{5}\dfrac{{3\left( {s + 1} \right) - 3}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}} - \dfrac{1}{5}\dfrac{{\left( 3 \right)\left( 2 \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{3}{5}\dfrac{1}{s} - \dfrac{{3\left( {s + 1} \right)}}{{5\left[ {{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}} \right]}} + \dfrac{3}{{5\left[ {{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}} \right]} - \dfrac{1}{5}\dfrac{{\left( 3 \right)\left( 2 \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \end{align} }\]  

resolviendo

\[\large{ \dfrac{3}{{5\left[ {{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}} \right]}} - \dfrac{6}{{5\left[ {{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}} \right]}} = \dfrac{{ - 3}}{{5\left[ {{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}} \right]}} }\]  

Ya que se desea obtener un término de la forma

\[\large{ \dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}} }\]  

se considera que

\[\large{ \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{{3\left( 2 \right)}}{{10}} }\]  

así se tiene

\[\large{ F\left( s \right) = \dfrac{3}{5}\dfrac{1}{s} - \dfrac{3}{5}\dfrac{{\left( {s + 1} \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}} + \dfrac{3}{{10}}\dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}} }\]  

Aplicando la transformada inversa de Laplace se tiene

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {F\left( s \right)} \right\} =& \dfrac{3}{5} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{1}{s}} \right\} - \dfrac{3}{5} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{{\left( {s + 1} \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \right\} \nonumber\\ & + \dfrac{3}{{10}} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {\dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \right\} \end{align} }\]  

así se tiene

\[\large{ \begin{align} \dfrac{3}{5}{L^{ - 1}}\left\{ {\dfrac{1}{s}} \right\} & = \dfrac{3}{5}\left( 1 \right) = \dfrac{3}{5}\\ \nonumber\\ - \dfrac{3}{5}{L^{ - 1}}\left\{ {\dfrac{{\left( {s + 1} \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \right\} & = - \dfrac{3}{5}{e^{ - t}}\cos \left( {2t} \right)\\ \nonumber\\ - \dfrac{3}{{10}}{L^{ - 1}}\left\{ {\dfrac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {2^2}}}} \right\} & = - \dfrac{3}{{10}}{e^{ - t}}\mathrm{sen} \left( {2t} \right) \end{align} }\]  

Finalmente se tiene que la solución de la ecuación diferencial

\[\large{ \ddot x + 2\dot x + 5x = 3 }\]  

para $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = 0$ es

\[\large{ \fbox{$\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}{e^{ - t}}\cos \left( {2t} \right) - \dfrac{3}{{10}}{e^{ - t}}\mathrm{sen} \left( {2t} \right)$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 240
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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syms s
numP = 3;
den = s*(s.^2+2*s+5);
denP=sym2poly(den)
[r,p,k]=residue(numP, denP)
F = (numP/den);
f = ilaplace(F) 

Observación: Para obtener la representación adecuada de la solución que se obtiene de Matlab:

\[\large{ f = 3/5 - (3*exp(-t)*(cos(2*t) + sin(2*t)/2))/5 }\]
se debe realizar la siguiente transformación

\[\normalsize{ \dfrac{3}{5} - \left( {\dfrac{{3{e^{ - t}}\left( {\cos \left( {2t} \right) + \dfrac{1}{2}\mathrm{sen} \left( {2t} \right)} \right)}}{5}} \right) = \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}{e^{ - t}}\cos \left( {2t} \right) - \dfrac{3}{{10}}{e^{ - t}}\mathrm{sen} \left( {2t} \right) }\]

1.4. Exámenes y Tareas

T8. Realizar la transcripción completa del Blog en un reporte en LaTeX y subir el archivo PDF a Google Classroom

T9. Realizar todos los códigos en Matlab y subir los archivos a Google Classroom

T10. Resolver los ejercicios de transformada 

E4. Contestar el Examen que se encuentra en Google Classroom