Clase 3 - Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace

La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.

Figura1. Pierre-Simon Laplace

Un sistema descrito por ecuaciones diferenciales es difícil de modelar, ya que requiere práctica matemática, tal y como se observa en el siguiente ejemplo:

\[\large{ \begin{align*} x \dot{y} + 2y &= e^{x}\\ \\ \dfrac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} + p \left( x \right) y &= f \left( x \right)\\ \\ \dot{y} + \dfrac{2}{x}y &= \dfrac{e^{x}}{x} \to p \left( x \right) = \dfrac{2}{x}\\ \\ e^{{\displaystyle \int } {p \left( x \right) \mathrm{dx}}} &= e^{{\displaystyle \int } {\dfrac{2}{x} \mathrm{dx}}} = e^{2 \ln \left( x \right)} = e^{\ln \left( x^{2} \right)} = x^{2}\\ \\ x^{2}\left( \dot{y} + \dfrac{2}{x}y = \dfrac{e^{x}}{x} \right) \to \dfrac{d}{{dx}}\left( x^{2}y \right) &= x^{2} \dot{y} + 2xy\\ \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \left( x^{2} y \right) = x e^{x} \to {\displaystyle \int } { \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \left( x^{2} y \right) \mathrm{dx} } &= {\displaystyle \int } {x e^{x} \mathrm{dx}} = x^{2}y = x e^{x} - e^{x} + C\\ \\ y\left( x \right) &= \dfrac{e^{x}}{x} - \dfrac{e^{x}}{x^{2}} + \dfrac{C}{x^{2}} \end{align*} }\]

La transformada de Laplace es un método que resuelve ecuaciones diferenciales lineales usando álgebra. Una ventaja de este método es que permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del sistema, sin tener que resolver sus ecuaciones diferenciales.

Figura 2. Algebra 

Otra ventaja de la transformada de Laplace es que, cuando se resuelve la ecuación diferencial, es posible obtener simultáneamente tanto el componente transitorio como el componente de estado estable de la solución.

Figura 3. Componentes de la señal

Definición: La transformada de Laplace se define como:

\[\large{ \mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = F\left( s \right) = \int\limits_0^\infty {f\left( t \right){e^{ - st}}\mathrm{d} t} }\]

donde $s$ es una variable compleja; $f \left( t \right)$ es una función en el dominio del tiempo; $F \left( s \right)$ es la transformada de Laplace de la función $f \left( t \right)$ en el dominio de $s$;  $\mathcal{L}$ es el operador de Laplace.

Definición de ${\large{s}}$: En la transformada de Laplace, la variable compleja $s$ se define como

\[\large{ s = \sigma + i \omega }\]

donde $\sigma \in \mathbb{R}$ es la parte real, $\omega \in \mathbb{I}$ es la parte imaginaria, y $i = \sqrt{-1}$.

Una de las ventajas más significativas es que se convierten las integrales en divisiones y las derivadas en multiplicaciones

\[\large{ \begin{align} {\displaystyle \int a } {\mathrm{\mathrm{d} t}} &\to \dfrac{{a}}{{s}}\\ \nonumber\\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{\mathrm{d} t}}a &\to \left( a \right) \times \left( s \right) \end{align} }\]

La interpretación gráfica de la transformada de Laplace se muestra en el siguiente video.

Video1. Physics Videos by Eugene Khutoryansky
https://www.youtube.com/watch?v=6MXMDrs6ZmA&t=2s

1.1. Ejemplos 

A continuación se presentan varios ejemplos de la obtención de la Transformada de Laplace

1.1.1. Ejemplo 1

Sea $f (t) = 1$ cuando $t \geq 0$. Encontrar $F (s)$.

Considerando la ecuación de la transformada de Laplace

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} f \left( t \right) \mathrm{dt}} }.\]

Se sustituye el valor de la función $f(t)$ en la ecuación de la transformada de Laplace

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} \left( 1 \right) \mathrm{dt}} }\]

Se simplifica la ecuación

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty {e^{-st} \mathrm{dt}} }\]

y se resuelve la integral. 

Para resolver la integral se realizan las siguientes consideraciones

\[\large{ \begin{align} u &= - st\\ \nonumber\\ \dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}} &= - s \to \mathrm{dt} = - \dfrac{\mathrm{du}}{s} \end{align} }\]  

Así se tiene

\[\large{ \int \limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{dt} = \int \limits_0^\infty e^{u} \left( - \dfrac{\mathrm{du}}{s} \right) = - \dfrac{1}{s} \int \limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = \left. - \dfrac{1}{s} e^{u} \right|_0^\infty + C }\]

Usando la fórmula para integrar una exponencial

\[\large{ \int\limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = e^{u} + C }\]

se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \left. - \dfrac{1}{s} e^{-st} \right|_0^\infty = - \dfrac{1}{s} e^{-s \left( \infty \right)} + \dfrac{1}{s}e^{-s \left( 0 \right)} }\]

Considerando el comportamiento de la función exponencial descrito en la siguiente figura

Figura 4. Gráfica de la función $e^{-t}$

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 195
% Tipo: Numérico/Gráfico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc
  
x = 0:pi/100:2*pi;
y1 = exp(-x);
plot(x,y1, 'LineWidth', 2)
text(0.5, 0.9, 'e^{0} = 1 ', 'Color','red')
text(6, 0.1, 'e^{\infty} = 0', 'Color','red')
grid on

se puede concluir que \[\large{ \begin{align} {e^0} &= 1\\ \nonumber \\ {e^\infty } &= 0 \end{align} }\] Así se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = - \dfrac{1}{s} {\underline{e^{-s \left( \infty \right)}}}_{0} + \dfrac{1}{s} \underline{e^{-s \left( 0 \right)}}_{1} }\]

Finalmente se tiene que

\[\large{ \fbox{$F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \mathcal{L} \left\{ 1 \right\} = \dfrac{1}{s} $} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 196
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc
  
syms t
F = laplace(heaviside(t))

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 197
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

t = sym('t', 'real');
F = laplace(heaviside(t))

Observación: En Matlab, para obtener la transformada de Laplace de $f\left( t \right) = 1$ se usa la función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, la cual es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero

\[\large{ u \left( x \right) = H \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0 \quad \mathrm{si} \quad x < 0\\ \\ 1 \quad \mathrm{si} \quad x \geq 0 \end{array} \right. }\]

1.1.2. Ejemplo

Sea $f (t) = t$ cuando $t \geq 0$. Encontrar $F (s)$.

Considerando la ecuación de la transformada de Laplace

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} f \left( t \right) \mathrm{dt}} }\]

Se sustituye el valor de la función $f(t)$

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} \left( t \right) \mathrm{dt}} }\] Para resolver la ecuación se usa integración por partes, la cual se define como

\[\large{ \fbox{$\int \limits_0^\infty u \: \mathrm{dv} = uv \Bigg|_0^\infty - \int \limits_0^\infty v \: \mathrm{du}$} }\]

Se realizan las siguientes consideraciones

\[\large{ \begin{align} u & = t\\ \nonumber\\ \mathrm{du} & = \mathrm{dt}\\ \nonumber\\ \mathrm{dv} & = e^{-st}\mathrm{dt}\\ \nonumber\\ v & = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\mathrm{dt} = \left. - \dfrac{1}{s} e^{-st} \right|_0^\infty \end{align} }\]

así se tiene

\[\large{ \int_{0}^{\infty} t e^{-st}\mathrm{dt} = \fbox{$\left. -t \dfrac{1}{s} e^{-st} \right|_0^\infty $}- \int \limits_0^\infty - \dfrac{1}{s} e^{-st} \mathrm{dt} }\]

Se acomoda la ecuación de la siguiente forma

\[\large{ \int_{0}^{\infty} t e^{-st}\mathrm{dt} = \left. -t \dfrac{1}{s} e^{-st} \right|_0^\infty + \dfrac{1}{s} \int \limits_0^\infty e^{-st} \mathrm{dt} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = e^{u} + C$} }\]

donde

\[\large{ \begin{align} u & = -st\\ \nonumber\\ \dfrac{\mathrm{du} }{\mathrm{dt}} & = -s \rightarrow \mathrm{dt} = -\dfrac{\mathrm{du}}{s} \end{align} }\]

se tiene

\[\large{ - \dfrac{1}{s} \int \limits_0^\infty e^{u} \dfrac{\mathrm{du}}{s} = - \dfrac{1}{s^{2}} \int \limits_0^\infty e^{u} \mathrm{du} = \fbox{$ \left. - \dfrac{1}{s^{2}} e^{-st} \right|_0^\infty $} }\]

Finalmente agrupando se obtiene

\[\large{ \int_{0}^{\infty} t e^{-st}\mathrm{dt} = \left. \left( -t \dfrac{1}{s} e^{-st} - \dfrac{1}{s^{2}} e^{-st} \right) \right|_0^\infty. }\]

Evaluando la ecuación

\[\large{ \int_{0}^{\infty} t e^{-st} \: \mathrm{dt} = \left. \left( -t \dfrac{1}{s} e^{-st} - \dfrac{1}{s^{2}} e^{-st} \right) \right|_0^\infty }\]

se tiene

\[\normalsize{ \hspace{-0.809cm} \begin{align} \int_{0}^{\infty} t e^{-st}\mathrm{dt} &= \left( -\left( \infty \right) \dfrac{1}{s} e^{-s\left( \infty \right)} - \dfrac{1}{s^{2}} e^{-s\left( \infty \right)} \right) - \left( -\left( 0 \right) \dfrac{1}{s} e^{-s\left( 0 \right)} - \dfrac{1}{s^{2}} e^{-s\left( 0 \right)} \right) \nonumber\\ \nonumber\\ & = -\left( \infty \right) \dfrac{1}{s} e^{-s\left( \infty \right)} - \dfrac{1}{s^{2}} e^{-s\left( \infty \right)} + \left( 0 \right) \dfrac{1}{s} e^{-s\left( 0 \right)} + \dfrac{1}{s^{2}} e^{-s\left( 0 \right)} \end{align} }\]

Nuevamente se considera el comportamiento de la función exponencial descrito en la gráfica de la función $e^{-t}$, tal que podemos concluir 

\[\large{ \hspace{-1.618cm} F\left( s \right) = - \left( \infty \right)\dfrac{1}{s}{\underline {{e^{ - s\left( \infty \right)}}} _0} - \dfrac{1}{{{s^2}}}{\underline {{e^{ - s\left( \infty \right)}}} _0} + \left( 0 \right)\dfrac{1}{s}{\underline {{e^{ - s\left( 0 \right)}}} _1} + \dfrac{1}{{{s^2}}}{\underline {{e^{ - s\left( 0 \right)}}} _1} }\]

Finalmente se tiene que

\[\large{ \fbox{$F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \mathcal{L} \left\{ t \right\} = \dfrac{1}{s^{2}} $} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 198
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

syms t
F = laplace(t)

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 199
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

t = sym('t', 'real');
F = laplace(t)

1.1.3. Ejemplo 3

Sea $f (t) = t^{2}$ cuando $t \geq 0$. Encontrar $F (s)$.

Considerando la ecuación de la transformada de Laplace

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} f \left( t \right) \mathrm{dt}} }\]

Se sustituye el valor de la función $f(t)$

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} \left( t^{2} \right) \mathrm{dt}} }\] Para resolver la ecuación se usa integración por partes, la cual se define como

\[\large{ \fbox{$\int \limits_0^\infty u \: \mathrm{dv} = uv \Bigg|_0^\infty - \int \limits_0^\infty v \: \mathrm{du}$} }\]

Se realizan las siguientes consideraciones

\[\large{ \begin{align} u & = t^{2}\\ \nonumber\\ \mathrm{du} & = 2t \: \mathrm{dt}\\ \nonumber\\ \mathrm{dv} & = e^{-st} \: \mathrm{dt}\\ \nonumber\\ v & = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\mathrm{dt} = \left. - \dfrac{1}{s} e^{-st} \right|_0^\infty \end{align} }\]

así se tiene

\[\large{ \int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st} \: \mathrm{dt} = \fbox{$\left. -t^{2} \dfrac{1}{s} e^{-st} \right|_0^{\infty}$} - \int_{0}^{\infty} \left( - \dfrac{1}{s} e^{-st} \right) 2t \: \mathrm{dt} }\]

Se acomoda la ecuación de la siguiente forma

\[\large{ - \int_{0}^{\infty} \left( - \dfrac{1}{s} e^{-st} \right)2t \: \mathrm{dt} = \dfrac{2}{s} \int_{0}^{\infty} t e^{-st}\mathrm{dt} }\]

Se prosigue a resolver la siguiente ecuación:

\[\large{ \dfrac{2}{s} \int_{0}^{\infty} t e^{-st} \: \mathrm{dt} }\]

nuevamente se usa la integración por partes, para lo cual se realizan las siguientes consideraciones

\[\large{ \begin{align} u & = t\\ \nonumber\\ \mathrm{du} & = \mathrm{dt}\\ \nonumber\\ \mathrm{dv} & = e^{-st} \: \mathrm{dt}\\ \nonumber\\ v & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \: \mathrm{dt} = \left. - \dfrac{1}{s} e^{-st} \right|_0^\infty \end{align} }\]

así se tiene

\[\large{ \dfrac{2}{s} \int_{0}^{\infty} t e^{-st} \mathrm{dt} = \dfrac{2}{s} \left( \left. -t \dfrac{1}{s} e^{-st} \right|_0^\infty- \int \limits_0^\infty - \dfrac{1}{s} e^{-st} \mathrm{dt} \right) }\]

Acomodando la ecuación se tiene

\[\large{ \dfrac{2}{s} \int_{0}^{\infty} t e^{-st} \: \mathrm{dt} = \fbox{$\left. -t \dfrac{2}{s^{2}} e^{-st} \right|_0^\infty $} + \dfrac{2}{s^{2}} \int \limits_0^\infty e^{-st} \: \mathrm{dt} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = e^{u} + C$} }\]

donde

\[\large{ \begin{align} u & = -st\\ \nonumber \\ \dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt} } & = -s \rightarrow \mathrm{dt} = -\dfrac{\mathrm{du}}{s} \end{align} }\]

se tiene

\[\large{ - \dfrac{2}{s^{2}} \int \limits_0^\infty e^{u} \dfrac{du}{s} = - \dfrac{2}{s^{3}} \int \limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = \fbox{$\left. - \dfrac{2}{s^{3}} e^{-st} \right|_0^\infty $} }\]

Finalmente agrupando se obtiene

\[\large{ \int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st} \: \mathrm{dt} = \left. \left( -t^{2} \dfrac{1}{s} e^{-st} - t \dfrac{2}{s^{2}} e^{-st} - \dfrac{2}{s^{3}} e^{-st}\right) \right|_0^\infty }\]

Evaluando la ecuación

\[\large{ \int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st} \: \mathrm{dt} = \left. \left( -t^{2} \dfrac{1}{s} e^{-st} - t \dfrac{2}{s^{2}} e^{-st} - \dfrac{2}{s^{3}} e^{-st}\right) \right|_0^\infty }\]

se tiene

\[\large{ \begin{align} \int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st} \: \mathrm{dt} = & - \left( \infty \right)^{2} \dfrac{1}{s} e^{-s \left( \infty \right)} - \left( \infty \right) \dfrac{2}{s^{2}} e^{-s \left( \infty \right)} - \dfrac{2}{s^{3}} e^{-s \left( \infty \right)} \nonumber\\ \nonumber\\ & + \left( 0 \right)^{2} \dfrac{1}{s} e^{-s\left( 0 \right)} + \left( 0 \right) \dfrac{2}{s^{2}} e^{-s\left( 0 \right)} + \dfrac{2}{s^{3}} e^{-s\left( 0 \right)} \\ \end{align} }\]

Nuevamente se considera el comportamiento de la función exponencial descrito en la gráfica de la función $e^{-t}$, tal que podemos concluir 

\[\normalsize{ \begin{align} \int_0^\infty {{t^2}} {e^{ - st}}\,{\rm{dt}} &= - {\left( \infty \right)^2}\dfrac{1}{s}{\underline {{e^{ - s\left( \infty \right)}}} _0} - \left( \infty \right)\dfrac{2}{{{s^2}}}{\underline {{e^{ - s\left( \infty \right)}}} _0} - \dfrac{2}{{{s^3}}}{\underline {{e^{ - s\left( \infty \right)}}} _0} \nonumber\\ \nonumber\\ & + {\left( 0 \right)^2}\dfrac{1}{s}{\underline {{e^{ - s\left( 0 \right)}}} _1} + \left( 0 \right)\dfrac{2}{{{s^2}}}{\underline {{e^{ - s\left( 0 \right)}}} _1} + \dfrac{2}{{{s^3}}}{\underline {{e^{ - s\left( 0 \right)}}} _1} \end{align} }\]

Finalmente se tiene que

\[\large{ \fbox{$F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \mathcal{L} \left\{ t^{2} \right\} = \dfrac{2}{s^{3}}$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 200
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

syms t
F = laplace(t.^2)

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 201
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

t = sym('t', 'real');
F = laplace(t.^2)

1.1.4. Ejemplo 4

Sea $f (t) = e^{at}$ cuando $t \geq 0$. Encontrar $F (s)$.

Considerando la ecuación de la transformada de Laplace

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} f \left( t \right) \mathrm{dt}} }\]

Se sustituye el valor de la función $f(t)$

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} \left( e^{at} \right)} \mathrm{dt} }\] Se usa la siguiente propiedad de los exponentes

\[\large{ \fbox{$e^{a} e^{b} = e^{a+b}$} }\] Aplicando la propiedad anterior se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} \left( e^{at} \right)} \mathrm{dt} = \int \limits_0^\infty e^{\left( -st + at \right)} \mathrm{dt} = \int \limits_0^\infty e^{-\left( s - a \right) t} \mathrm{dt} }\] Para resolver la ecuación

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty e^{-\left( s - a \right) t} \mathrm{dt} }\]

Se realizan las siguientes consideraciones

\[\large{ \begin{align} u & = - \left( s - a \right) t \\ \nonumber\\ \dfrac{du}{\mathrm{dt}} & = - \left( s - a \right) \rightarrow \mathrm{dt} = - \dfrac{du}{\left( s-a \right)} \end{align} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = e^{u} + C$} }\]

Agrupando se obtiene

\[\large{ \int\limits_0^\infty e^{u} \left( - \dfrac{\mathrm{du}}{\left( s - a \right)} \right) = - \dfrac{1}{\left( s - a \right)} \int\limits_0^\infty e^{u} \mathrm{du} = \left. { - \dfrac{1}{\left( s - a \right)} e^{-\left( s - a \right) t}} \right|_0^\infty }\]

Evaluando la ecuación

\[\large{ \int \limits_0^\infty e^{-\left( s - a \right) t} \mathrm{dt} = \left. { - \dfrac{1}{\left( s - a \right)} e^{-\left( s - a \right) t}} \right|_0^\infty }\]

se tiene

\[\large{ \int \limits_0^\infty e^{-\left( s - a \right) t} \mathrm{dt} = - \dfrac{1}{\left( s - a \right)} e^{-\left( s - a \right) \left( \infty \right)} + \dfrac{1}{\left( s - a \right)} e^{-\left( s - a \right) \left( 0 \right)} }\]

Nuevamente se considera el comportamiento de la función exponencial descrito en la gráfica de la función $e^{-t}$, tal que podemos concluir 

\[\large{ \int\limits_0^\infty {{e^{ - \left( {s - a} \right)t}}} \mathrm{dt} = - \dfrac{1}{{\left( {s - a} \right)}}{\underline {{e^{ - \left( {s - a} \right)\left( \infty \right)}}} _0} + \dfrac{1}{{\left( {s - a} \right)}}{\underline {{e^{ - \left( {s - a} \right)\left( 0 \right)}}} _1} }\]

Finalmente se tiene que

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \mathcal{L} \left\{ e^{at} \right\} = \dfrac{1}{\left( s - a \right)} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 202
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

syms a t
F = laplace(exp(a*t))

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 203
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

t = sym('t', 'real');
a = sym('a', 'real');
F = laplace(exp(a*t))

1.1.5. Ejemplo 5

Sea $f (t) = \mathrm{sen} (t)$ cuando $t \geq 0$. Encontrar $F (s)$.

Considerando la ecuación de la transformada de Laplace

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} f \left( t \right) \mathrm{dt}} }\]

Se sustituye el valor de la función $f(t)$

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} \left( \mathrm{sen} (t) \right) \mathrm{dt}} }\] Acomodando la ecuación se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty \mathrm{sen} (t) e^{-st} \mathrm{dt} }\]

usando el Teorema de Euler se expresa la función seno de la siguiente forma

\[\large{ \mathrm{sen} \left( t \right) = \dfrac{e^{it} - e^{-it}}{2i} }\]

así se tiene

\[\large{ F\left( s \right) = {\cal L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = \int\limits_0^\infty {\dfrac{{{e^{it}} - {e^{ - it}}}}{{2i}}} {e^{ - st}}{\rm{dt}} }\]

Usando la siguiente ley de los exponentes

\[\large{ a^{m} a^{n} = a^{m+n} }\]

se tiene

\[\large{ \begin{align} F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} & = \int \limits_0^\infty \dfrac{e^{it} - e^{-it}}{2i} e^{-st} \: \mathrm{dt} = \int \limits_0^\infty \dfrac{e^{it}e^{-st} - e^{-it}e^{-st}}{2i} \mathrm{dt} \nonumber\\ \nonumber \\ & = \dfrac{1}{2i} \int \limits_0^\infty \left(e^{-\left(s-i \right)t} - e^{-\left(s+i \right)t} \right) \: \mathrm{dt} \nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{1}{2i} \int \limits_0^\infty e^{-\left(s-i \right)t} \: \mathrm{dt} - \dfrac{1}{2i} \int \limits_0^\infty e^{-\left(s+i \right)t} \: \mathrm{dt} \end{align} }\]

Para $\dfrac{1}{2i} {\displaystyle \int\limits_0^\infty } e^{-\left(s-i \right)t} \mathrm{dt}$ se plantean las siguientes variables

\[\large{ \begin{align} u & = -\left(s-i \right)t\\ \nonumber\\ \dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}} & = -\left(s-i \right) \rightarrow \mathrm{dt} = \dfrac{\mathrm{du}}{-\left(s-i \right)} \end{align} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = e^{u} + C$} }\]

se tiene

\[\large{ \dfrac{1}{2i} \int\limits_0^\infty e^{-\left( s - i \right)t} \mathrm{dt} = \fbox{$\left. {\dfrac{1}{ -2i\left( s - i \right)} e^{ - \left( s - i \right)t}} \right|_0^\infty$} }\]

Para $\dfrac{1}{2i} {\displaystyle \int \limits_0^\infty} e^{-\left(s+i \right)t} \: \mathrm{dt}$ se plantean las siguientes variables

\[\large{ \begin{align} u & = -\left(s+i \right)t\\ \nonumber\\ \dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}} & = -\left(s+i \right) \rightarrow \mathrm{dt} = \dfrac{\mathrm{du}}{-\left(s+i \right)} \end{align} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = e^{u} + C$} }\]

se tiene 

\[\large{ \dfrac{1}{2i} \int\limits_0^\infty e^{-\left( s+ i \right)t} \: \mathrm{dt} = \fbox{$\left. {\dfrac{1}{ -2i\left( s + i \right)} e^{ - \left( s + i \right)t}} \right|_0^\infty$} }\]

Nuevamente se considera el comportamiento de la función exponencial descrito en la gráfica de la función $e^{-t}$, tal que podemos concluir 

\[\normalsize{ \begin{align} \left. {\dfrac{1}{{ - 2i\left( {s - i} \right)}}{e^{ - \left( {s - i} \right)t}}} \right|_0^\infty &= \dfrac{1}{{ - 2i\left( {s - i} \right)}}{\underline {{e^{ - \left( {s - i} \right)(\infty )}}} _0} - \dfrac{1}{{ - 2i\left( {s - i} \right)}}e{\underline {^{ - \left( {s - i} \right)(0)}} _1}\\ \nonumber\\ \left. {\dfrac{1}{{ - 2i\left( {s + i} \right)}}{e^{ - \left( {s + i} \right)t}}} \right|_0^\infty &= \dfrac{1}{{ - 2i\left( {s + i} \right)}}{\underline {{e^{ - \left( {s + i} \right)(\infty )}}} _0} - \dfrac{1}{{ - 2i\left( {s + i} \right)}}{\underline {{e^{ - \left( {s + i} \right)(0)}}} _1} \end{align} }\]

así se tiene

\[\large{ \begin{align} \dfrac{1}{{2i\left( {s - i} \right)}} - \dfrac{1}{{2i\left( {s + i} \right)}} & = \dfrac{{2i\left( {s + i} \right) - 2i\left( {s - i} \right)}}{{2i\left( {s - i} \right)2i\left( {s + i} \right)}} = \dfrac{{2i\left( {s + i - s + i} \right)}}{{2i\left( {s - i} \right)2i\left( {s + i} \right)}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{{2i}}{{\left( {s - i} \right)2i\left( {s + i} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {s - i} \right)\left( {s + i} \right)}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{1}{{\left( {s - i} \right)\left( {s + i} \right)}} = \dfrac{1}{{{s^2} + si - is - {i^2}}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{1}{{{s^2} + 1}} \end{align} }\]

Finalmente se tiene que

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \mathcal{L} \left\{ \mathrm{sen} (t) \right\} = \dfrac{1}{{{s^2} + 1}} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 204
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
close all
clc

syms t
f = sin(t);
F = laplace(f)

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 205
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t = sym('t', 'real');
f = sin(t);
F = laplace(f)

1.1.6. Ejemplo 6

Sea $f (t) = \cos (t)$ cuando $t \geq 0$. Encontrar $F (s)$.

Considerando la ecuación de la transformada de Laplace

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} f \left( t \right) \mathrm{dt}} }\]

Se sustituye el valor de la función $f(t)$

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} \left( \cos (t) \right)} \mathrm{dt} }\] Acomodando la ecuación se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty \cos (t) e^{-st} \: \mathrm{dt} }\]

usando el Teorema de Euler se expresa la función coseno de la siguiente forma

\[\large{ \cos \left( t \right) = \dfrac{e^{it} + e^{-it}}{2} }\]

así se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty \dfrac{e^{it} + e^{-it}}{2} e^{-st} \mathrm{dt} }\]

Usando la siguiente ley de los exponentes

\[\large{ a^{m} a^{n} = a^{m+n} }\]

se tiene

\[\large{ \begin{align} F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} & = \int \limits_0^\infty \dfrac{e^{it} + e^{-it}}{2} e^{-st} \: \mathrm{dt} = \int \limits_0^\infty \dfrac{e^{it}e^{-st} + e^{-it}e^{-st}}{2} \: \mathrm{dt} \nonumber\\ \nonumber \\ & = \dfrac{1}{2} \int \limits_0^\infty \left(e^{-\left(s-i \right)t} + e^{-\left(s+i \right)t} \right) \mathrm{dt}\nonumber\\ \nonumber \\ & = \dfrac{1}{2} \int \limits_0^\infty e^{-\left(s-i \right)t} \mathrm{d} t + \dfrac{1}{2} \int \limits_0^\infty e^{-\left(s+i \right)t} \: \mathrm{dt} \end{align} }\]

Para $\dfrac{1}{2i} {\displaystyle \int \limits_0^\infty} e^{-\left(s-i \right)t} \: \mathrm{dt}$ se plantean las siguientes variables

\[\large{ \begin{align} u & = -\left(s-i \right)t\\ \nonumber \\ \dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}} & = -\left(s-i \right) \rightarrow \mathrm{dt} = \dfrac{\mathrm{du}}{-\left(s-i \right)} \end{align} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} du = e^{u} + C$} }\]

se tiene

\[\large{ \dfrac{1}{2} \int\limits_0^\infty e^{-\left( s - i \right)t} \: \mathrm{dt} = \fbox{$\left. {\dfrac{1}{ -2\left( s - i \right)} e^{ - \left( s - i \right)t}} \right|_0^\infty$} }\]

Para $\dfrac{1}{2i} {\displaystyle \int \limits_0^\infty} e^{-\left(s+i \right)t} \: \mathrm{dt}$ se plantean las siguientes variables

\[\large{ \begin{align} u & = -\left(s+i \right)t\\ \nonumber \\ \dfrac{du}{\mathrm{dt}} & = -\left(s+i \right) \rightarrow \mathrm{dt} = \dfrac{\mathrm{du}}{-\left(s+i \right)} \end{align} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = e^{u} + C$} }\]

se tiene

\[\large{ \dfrac{1}{2} \int\limits_0^\infty e^{-\left( s+ i \right)t} \mathrm{dt} = \fbox{$\left. {\dfrac{1}{ -2\left( s + i \right)} e^{ - \left( s + i \right)t}} \right|_0^\infty$} }\]

Nuevamente se considera el comportamiento de la función exponencial descrito en la grafica de la función $e^{-t}$, tal que podemos concluir 

\[\large{ \begin{align} \left. {\dfrac{1}{{ - 2\left( {s - i} \right)}}{e^{ - \left( {s - i} \right)t}}} \right|_0^\infty & = \dfrac{1}{{ - 2\left( {s - i} \right)}}{e^{ - \left( {s - i} \right)(\infty )}} - \dfrac{1}{{ - 2\left( {s - i} \right)}}{e^{ - \left( {s - i} \right)(0)}} \nonumber\\ \\ \nonumber \\ \left. {\dfrac{1}{{ - 2\left( {s + i} \right)}}{e^{ - \left( {s + i} \right)t}}} \right|_0^\infty & = \dfrac{1}{{ - 2\left( {s + i} \right)}}{e^{ - \left( {s + i} \right)(\infty )}} - \dfrac{1}{{ - 2\left( {s + i} \right)}}{e^{ - \left( {s + i} \right)(0)}} \nonumber\\ & \end{align} }\]

así se tiene

\[\large{ \begin{align} \dfrac{1}{{2 \left( {s - i} \right)}} + \dfrac{1}{{2 \left( {s + i} \right)}} & = \dfrac{{2 \left( {s + i} \right) + 2 \left( {s - i} \right)}}{{2 \left( {s - i} \right) 2 \left( {s + i} \right)}} = \dfrac{{2\left( {s + i + s - i} \right)}}{{2 \left( {s - i} \right) 2 \left( {s + i} \right)}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{{2s}}{{\left( {s - i} \right) 2 \left( {s + i} \right)}} = \dfrac{s}{{\left( {s - i} \right)\left( {s + i} \right)}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{s}{{\left( {s - i} \right)\left( {s + i} \right)}} = \dfrac{s}{{{s^2} + si - is - {i^2}}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{s}{{{s^2} + 1}} \end{align} }\]

Finalmente se tiene que

\[\large{ \fbox{$F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \mathcal{L} \left\{ \cos (t) \right\} = \dfrac{s}{{{s^2} + 1}}$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 206
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

syms t
f = cos(t);
F = laplace(f)

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 207
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t = sym('t', 'real');
f = cos(t);
F = laplace(f)

1.1.7. Ejemplo 7

Sea $f (t) = \mathrm{sen}^{2} (t)$ cuando $t \geq 0$. Encontrar $F (s)$.

Considerando la ecuación de la transformada de Laplace

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} f \left( t \right) \: \mathrm{dt}} }\]

Se sustituye el valor de la función $f(t)$

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty { e^{-st} \left( \mathrm{sen}^{2} (t) \right) \: \mathrm{dt}} }\] Acomodando la ecuación se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty \mathrm{sen}^{2} (t) e^{-st} \: \mathrm{dt} }\]

Usando la siguiente identidad trigonométrica

\[\large{ \mathrm{sen}^{2} \left( a \right) = \dfrac{1}{2} \left[ 1 - \cos \left( 2 a\right) \right] }\]

se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \int \limits_0^\infty \dfrac{1}{2} \left[ 1 - \cos \left( 2 t \right) \right] e^{-st} \: \mathrm{dt} }\]

Acomodando la ecuación se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \dfrac{1}{2} \int \limits_0^\infty e^{-st} \: \mathrm{dt} - \dfrac{1}{2} \int \limits_0^\infty \cos \left( 2 t \right) e^{-st} \: \mathrm{dt} }\]

usando el Teorema de Euler se expresa la función coseno de la siguiente forma

\[\large{ \cos \left( a \right) = \dfrac{e^{ia} + e^{-ia}}{2} }\]

así se tiene

\[\large{ F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \dfrac{1}{2} \int \limits_0^\infty e^{-st} \: \mathrm{dt} - \dfrac{1}{2} \int \limits_0^\infty \dfrac{e^{i2t} + e^{-i2t}}{2} e^{-st} \: \mathrm{dt} }\]

Para $\dfrac{1}{2} {\displaystyle \int \limits_0^\infty} e^{-st} \mathrm{d} t$ se definen las siguientes variables

\[\large{ \begin{align} u & = - st\\ \nonumber \\ \dfrac{\mathrm{du}}{{\mathrm{dt}}} & = - s \to \mathrm{dt} = - \dfrac{\mathrm{du}}{s} \end{align} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} du = e^{u} + C$} }\]

se tiene

\[\large{ \dfrac{1}{2} \int\limits_0^\infty e^{- st} \: \mathrm{dt} = \fbox{$\left. -{\dfrac{1}{ 2 s } e^{ - s t}} \right|_0^\infty$} }\]

Se usa la siguiente ley de los exponentes

\[\large{ a^{m} a^{n} = a^{m+n} }\]

así se tiene

\[\large{ \label{125} \begin{align} \dfrac{1}{2} \int\limits_0^\infty \dfrac{{{e^{i2t}} + {e^{ - i2t}}}}{2} e^{ - st} \: \mathrm{dt} &a = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\left( {{e^{i2t}}{e^{ - st}} + {e^{ - i2t}}{e^{ - st}}} \right)} \: \mathrm{dt} \nonumber\\ \nonumber \\ & = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^\infty {{e^{i2t}}{e^{ - st}}} \: \mathrm{dt} + \dfrac{1}{4}\int\limits_0^\infty {{e^{ - i2t}}{e^{ - st}}} \: \mathrm{dt} \nonumber\\ \nonumber \\ & = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^\infty e^{ -\left( s - 2i \right) t} \: \mathrm{dt} + \dfrac{1}{4}\int\limits_0^\infty e^{ - \left( s+2i \right)t} \: \mathrm{dt} \nonumber\\ & \end{align} }\]

Para $-\dfrac{1}{4} {\displaystyle \int \limits_0^\infty} e^{ -\left( s - 2i \right) t} \: \mathrm{dt}$ se definen las siguientes variables

\[\large{ \begin{align} u & = -\left( s-2i \right)t\\ \nonumber \\ \dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}} & = -\left( s-2i \right) \rightarrow \mathrm{dt} = \dfrac{du}{-\left( s-2i \right)} \end{align} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} du = e^{u} + C$} }\]

se tiene

\[\large{ -\dfrac{1}{4} \int\limits_0^\infty e^{-\left( s - 2i \right)t} \: \mathrm{dt} = \fbox{$\left. -{\dfrac{1}{ -4\left( s - 2i \right)} e^{ - \left( s - 2i \right)t}} \right|_0^\infty$} }\]

Para $-\dfrac{1}{4} {\displaystyle \int \limits_0^\infty} e^{ -\left( s + 2i \right) t} \: \mathrm{dt}$ se definen las siguientes variables

\[\large{ \begin{align} u & = -\left( s+2i \right)t\\ \nonumber \\ \dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}} & = -\left( s+2i \right) \rightarrow \mathrm{dt} = \dfrac{du}{-\left( s+2i \right)} \end{align} }\]

Usando la formula para integrar una exponencial

\[\large{ \fbox{$ \int\limits_0^\infty e^{u} \: \mathrm{du} = e^{u} + C$} }\]

se tiene

\[\large{ -\dfrac{1}{4} \int\limits_0^\infty e^{-\left( s + 2i \right)t} \: \mathrm{dt} = \fbox{$\left. {-\dfrac{1}{ -4\left( s + 2i \right)} e^{ - \left( s + 2i \right)t}} \right|_0^\infty$} }\]

Nuevamente se considera el comportamiento de la función exponencial descrito en la grafica de la función $e^{-t}$, tal que podemos concluir 

\[\large{ \begin{align} \left. {\dfrac{1}{{ - 2s}}{e^{ - st}}} \right|_0^\infty & = \dfrac{1}{{ - 2s}}{\underline {{e^{ - s(\infty )}}} _0} - \dfrac{1}{{ - 2s}}{\underline {{e^{ - s(0)}}} _1}\nonumber\\ \\ \nonumber\\ \left. {\dfrac{1}{{4(s - 2i)}}{e^{ - \left( {s - 2i} \right)t}}} \right|_0^\infty & = \dfrac{1}{{4(s - 2i)}}{\underline {{e^{ - \left( {s - 2i} \right)(\infty )}}} _0} - \dfrac{1}{{4(s - 2i)}}{\underline {{e^{ - \left( {s - 2i} \right)(0)}}} _1}\nonumber\\ \\ \nonumber\\ \left. {\dfrac{1}{{4(s + 2i)}}{e^{ - \left( {s + 2i} \right)t}}} \right|_0^\infty & = \dfrac{1}{{4(s + 2i)}}{\underline {{e^{ - \left( {s + 2i} \right)(\infty )}}} _0} - \dfrac{1}{{4(s + 2i)}}{\underline {{e^{ - \left( {s + 2i} \right)(0)}}} _1} \nonumber\\ & \end{align} }\]

así se tiene

\[\normalsize{ \hspace{-1.618cm} \begin{align} \dfrac{1}{{2s}} - \dfrac{1}{{4(s - 2i)}} - \dfrac{1}{{4(s + 2i)}} & = \dfrac{{4(s - 2i)4(s + 2i) - 2s4(s + 2i) - 2s4(s - 2i)}}{{2s4(s - 2i)4(s + 2i)}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{{\left( 4 \right)\left( 2 \right)\left[ {2(s - 2i)(s + 2i) - s(s + 2i) - s(s - 2i)} \right]}}{{\left( 2 \right)\left( 4 \right)\left( 4 \right)s(s - 2i)(s + 2i)}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{{\left[ {2(s - 2i)(s + 2i) - s(s + 2i) - s(s - 2i)} \right]}}{{\left( 4 \right)s(s - 2i)(s + 2i)}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{{\left[ {2{s^2} - 4si + 4is - 8{i^2} - {s^2} - 2si - {s^2} + 2si} \right]}}{{\left( 4 \right)s(s - 2i)(s + 2i)}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{8}{{\left( 4 \right)({s^3} - 2{s^2}i + 2{s^2}i - 4s{i^2})}} = \dfrac{2}{{({s^3} - 4s{i^2})}}\nonumber\\ \nonumber\\ & = \dfrac{2}{{s({s^2} + 4s)}} \label{137} \end{align} }\]

Finalmente se tiene que

\[\large{ \fbox{$F \left( s \right) = \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} = \mathcal{L} \left\{ \mathrm{sen}^{2}(t) \right\} = \dfrac{2}{ s \left( s^{2} + 4 \right)}$} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 208
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

syms t
f = sin(t).^2;
F = laplace(f)

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 209
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t = sym('t', 'real');
f = sin(t).^2;
F = laplace(f)

1.2. Teoremas básicos

Para definir los teoremas se considera: $f\left( t \right), f_1\left( t \right), f_2\left( t \right)$ tres funciones cuyas transformadas de Laplace son $F \left( s \right), F_1 \left( s \right), F_2 \left( s \right)$, respectivamente, y $a$ es un escalar (real o complejo).

1.2.1. Linealidad

Sean la suma o resta de dos o más funciones a las cuales se les desea aplicar la transformada de Laplace. El resultado se consigue al obtener de manera individual la transformada de cada función y realizar la suma o resta.

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L}\left\{ f_{1} \left( t \right) + f_{2} \left( t \right) \right\} & = F_{1} \left( s \right) + F_{2} \left( s \right)\\ \nonumber \\ \mathcal{L} \left\{ a f\left( t \right) \right\} & = a F\left( s \right) \end{align} }\]

1.2.1.1. Ejemplo 1

Sea $f_1 (t) = t$ y $f_2 (t) = t^{2}$ cuando $t \geq 0$. Se desea obtener $f (t) = f_1 (t) + f_1 (t)$. Aplicar el teorema de Linealidad.

Considerando los ejercicios anteriores se tiene que

\[\large{ \begin{align} F_1 \left( s \right) & = \mathcal{L} \left\{ f_1 \left( t \right) \right\} = \dfrac{1}{s^{2}}\\ \nonumber\\ F_2 \left( s \right) & = \mathcal{L} \left\{ f_2 \left( t \right) \right\} = \dfrac{2}{s^{3}}\\ \nonumber\\ FS \left( s \right) & = F_1 \left( s \right) + F_2 \left( s \right) = \dfrac{1}{s^{2}} + \dfrac{2}{s^{3}}\\ \nonumber\\ FR \left( s \right) & = F_1 \left( s \right) - F_2 \left( s \right) = \dfrac{1}{s^{2}} - \dfrac{2}{s^{3}}\\ \end{align} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 210
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

syms t
f1 = t;
f2 = t.^2;
F1 = laplace(f1);
F2 = laplace(f2);
FS1 = laplace(f1+f2)
FR1 = laplace(f1-f2)
FS2 = F1 + F2
FR2 = F1 - F2

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 211
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t = sym('t', 'real');
f1 = t;
f2 = t.^2;
F1 = laplace(f1);
F2 = laplace(f2);
FS1 = laplace(f1+f2)
FR1 = laplace(f1-f2)
FS2 = F1 + F2
FR2 = F1 - F2

1.2.2. Diferenciación

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d f \left( t \right)}{\mathrm{d} t} \right\} & = s \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - f \left( 0 \right)\\ \nonumber \\ \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d^{n} f \left( t \right)}{d {t^{n}}} \right\}& = s^{n} \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{s^{n - i - 1}}} {f^{\left( i \right)}}\left( 0 \right) \end{align} }\]

1.2.2.1. Ejemplo

Sea $f (t) = t^{2}$ cuando $t \geq 0$. Hallar $\mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right)\right\}$.

Considerando la ecuación de la derivada

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right) \right\} = s \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - f \left( 0 \right) }\]

donde

\[\large{ \begin{align} f \left( t \right) & = t^{2}\\ \nonumber \\ f \left( 0 \right) & = {0^2} = 0\\ \nonumber \\ \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} & = \mathcal{L} \left\{ t^{2} \right\} = \dfrac{2}{s^{3}} \end{align} }\] Sustituyendo los valores en

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right) \right\} = s \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - f \left( 0 \right) }\]

se tiene

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ {f'\left( t \right)} \right\} = s \dfrac{2}{{{s^3}}} - 0 = \dfrac{2}{{{s^2}}} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 212
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

syms t;
f = t.^2;
F = laplace(diff(f))

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 213
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t = sym('t', 'real');
f = t.^2;
F = laplace(diff(f))

1.2.2.2. Ejemplo

Sea $f (t) = e^{at}$ cuando $t \geq 0$. Hallar $\mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right)\right\}$.

Considerando la ecuación de la derivada

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right) \right\} = s \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - f \left( 0 \right) }\]

donde

\[\large{ \begin{align} f \left( t \right) & = e^{at}\\ \nonumber \\ f \left( 0 \right) & = e^{a 0} = 1\\ \nonumber \\ \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} & = \mathcal{L} \left\{ e^{at} \right\} = \dfrac{1}{\left( s - a\right)} \end{align} }\] Sustituyendo los valores en

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right) \right\} = s \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - f \left( 0 \right) }\]

se tiene

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ {f'\left( t \right)} \right\} = s \dfrac{1}{\left( s-a \right)} - 1 = \dfrac{s-\left( s-a \right)}{\left( s-a \right)}= \dfrac{s-s+a}{\left( s-a \right)} = \dfrac{a}{\left( s-a \right)} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 214
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

syms a t;
f = exp(a*t);
F = laplace(diff(f))

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 215
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t = sym('t', 'real');
a = sym('a', 'real');  
f = exp(a*t);
F = laplace(diff(f))

Observación:El resultado que arroja Matlab en algunos casos debe ser manipulado para obtener la representación de la solución tal y como la deseamos. En este caso se tiene

\[\large{ \dfrac{{ - a}}{{\left( {a - s} \right)}} = \dfrac{{ - a}}{{ - \left( { - a + s} \right)}} = \dfrac{a}{{\left( {s - a} \right)}} }\]

1.2.2.3. Ejemplo

Sea $f (t) = t^2$ cuando $t \geq 0$. Hallar $\mathcal{L} \left\{ f'' \left( t \right)\right\}$.

Considerando la ecuación de la derivada

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d^{n} f \left( t \right)}{d {t^{n}}} \right\} = s^{n} \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{s^{n - i - 1}}} {f^{\left( i \right)}}\left( 0 \right) }\]

se tiene para $n=2$

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d^{2} f \left( t \right)}{d {t^{2}}} \right\}& = s^{2} \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - s^{2 - 0 - 1} f^{\left( 0 \right)} \left( 0 \right) - s^{2 - 1 - 1} f^{\left( 1 \right)} \left( 0 \right) \nonumber\\ \nonumber \\ & = s^{2} \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - s f \left( 0 \right) - f' \left( 0 \right) \end{align} }\] donde

\[\large{ \begin{align} f \left( 0 \right) & = 0\\ f' \left( 0 \right) & = 0\\ \nonumber\\ f' \left( t \right) & = 2t\\ f'' \left( t \right) & = 2\\ \nonumber\\ \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} & = \mathcal{L} \left\{ t^2 \right\} = \dfrac{2}{s^{3}}\\ \mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right) \right\} & = \mathcal{L} \left\{ 2t \right\}= 2 \mathcal{L} \left\{ t \right\} = 2 \dfrac{1}{s^{2}} = \dfrac{2}{s^{2}}\\ \mathcal{L} \left\{ f'' \left( t \right) \right\} & = 2 \mathcal{L} \left\{ 1 \right\} = \dfrac{2}{s} \end{align} }\] Sustituyendo los valores en

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d^{2} f \left( t \right)}{d {t^{2}}} \right\} = s^{2} \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - s f \left( 0 \right) - f' \left( 0 \right) }\] se tiene

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d^{2} f \left( t \right)}{d {t^{2}}} \right\} = s^{2} \dfrac{2}{s^{3}} - s \left( 0 \right) - \left( 0 \right) = \dfrac{2}{s} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 216
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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syms t
f = t.^2;
F = laplace(diff(diff(f,t),t)) 

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 217
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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t = sym('t', 'real');
f = t.^2;
F = laplace(diff(diff(t.^2,t),t))

1.2.2.4. Ejemplo

Hallar la tercera derivada de $f (t)$ cuando $t \geq 0$.

Considerando la ecuación de la derivada

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d^{n} f \left( t \right)}{d {t^{n}}} \right\} = s^{n} \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{s^{n - i - 1}}} {f^{\left( i \right)}}\left( 0 \right) }\]

se tiene para $n=3$

\[\large{ \begin{align} \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d^{3} f \left( t \right)}{d {t^{3}}} \right\} & = s^{3} \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - s^{3 - 0 - 1} f^{\left( 0 \right)} \left( 0 \right) - s^{3 - 1 - 1} f^{\left( 1 \right)} \left( 0 \right) \nonumber\\ & - s^{3 - 2 - 1} f^{\left( 2 \right)} \left( 0 \right) \end{align} }\]

reduciendo se obtiene

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \dfrac{d^{3} f \left( t \right)}{d {t^{3}}} \right\} = s^{3} \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - s^{2} f \left( 0 \right) - s f' \left( 0 \right) - f'' \left( 0 \right) }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 218
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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syms s Lf f0 f0p f0pp
s.^3*Lf - s.^2*f0 - s*f0p - f0pp

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 219
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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s = sym('s', 'real');
Lf = sym('Lf', 'real');
f0 = sym('f0', 'real');
f0p = sym('f0p', 'real');
f0pp = sym('f0pp', 'real');  
s.^3*Lf - s.^2*f0 - s*f0p - f0pp

1.2.2.5. Ejemplo

Sea $f (t) = \mathrm{sen}^{2} \left( t \right)$ cuando $t \geq 0$. Hallar $\mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right)\right\}$.

Considerando la ecuación de la derivada

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right) \right\} = s \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - f \left( 0 \right) }\]

donde

\[\large{ \begin{align} f \left( 0 \right) & = \mathrm{sen}^{2} \left( 0 \right) = 0 \\ \nonumber\\ \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} & = \mathcal{L} \left\{ \mathrm{sen}^{2} \left( t \right) \right\} = \dfrac{2}{s \left( s^{2} + 4 \right)} \end{align} }\]

Sustituyendo los valores en

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right) \right\} = s \mathcal{L} \left\{ f \left( t \right) \right\} - f \left( 0 \right) }\]

se tiene

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ f' \left( t \right) \right\} = s \dfrac{2}{s \left( s^{2} + 4 \right)} - \left( 0 \right) = \dfrac{2}{\left( s^{2} + 4 \right)} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 220
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

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syms t
f = sin(t).^2;
F = laplace(diff(f,t))

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 221
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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t = sym('t', 'real');
f = sin(t).^2;
F = laplace(diff(f,t))

1.2.3. Integración

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \int\limits_0^t f^{\left( n \right)} \left( \tau \right) d\tau \right\} = \dfrac{1}{s^{\left( n \right)}} \mathcal{L} \left\{ f^{\left( n \right)} \left( t \right) \right\} }\]

1.2.3.1. Ejemplo

Sea $f'' (t) = 2$ cuando $t \geq 0$. Hallar $f \left( t \right)$.

Considerando la ecuación de la integral

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \int\limits_0^t f^{\left( n \right)} \left( \tau \right) d\tau \right\} = \dfrac{1}{s^{\left( n \right)}} \mathcal{L} \left\{ f^{\left( n \right)} \left( t \right) \right\} }\]

se tiene

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \int\limits_0^t f'' \left( \tau \right) d\tau \right\} = \dfrac{1}{s^2} \mathcal{L} \left\{ f'' \left( t \right) \right\}= \dfrac{1}{s^2} \mathcal{L} \left\{ 2 \right\} }\] Resolviendo $\dfrac{1}{2} \mathcal{L} \left\{ 2 \right\}$ se tiene

\[\large{ \begin{align} \dfrac{1}{{{s^2}}}{\mathcal{L}}\left\{ 2 \right\} & = \dfrac{2}{{{s^2}}}{\mathcal{L}}\left\{ 1 \right\} \nonumber\\ \nonumber \\ & = \dfrac{2}{{{s^2}}}\dfrac{1}{s} \end{align} }\]

así se tiene que

\[\large{ f \left( t \right) = \dfrac{2}{s^{3}} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 222
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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syms t;
f = 2;
F = laplace(int(int(2,t),t))

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 223
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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t = sym('t', 'real');
f = 2;
F = laplace(int(int(2,t),t))

1.2.3.2. Ejemplo

Sea $f'' (t) = t^{2}$ cuando $t \geq 0$. Hallar $f \left( t \right)$.

Considerando la ecuación de la integral

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \int\limits_0^t f^{\left( n \right)} \left( \tau \right) d\tau \right\} = \dfrac{1}{s^{\left( n \right)}} \mathcal{L} \left\{ f^{\left( n \right)} \left( t \right) \right\} }\]

se tiene

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ \int\limits_0^t f'' \left( \tau \right) d\tau \right\} = \dfrac{1}{s^2} \mathcal{L} \left\{ f'' \left( t \right) \right\}= \dfrac{1}{s^2} \mathcal{L} \left\{ t^{2} \right\} }\] Resolviendo $\dfrac{1}{s^2} \mathcal{L} \left\{ t^{2} \right\}$ se tiene

\[\large{ \dfrac{1}{s^{2}} \mathcal{L} \left\{ t^{2} \right\} = \dfrac{1}{s^{2}} \dfrac{2}{s^{3}} }\]

así se tiene que

\[\large{ f \left( t \right) = \dfrac{2}{s^{5}} }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 224
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

syms t;
f = t.^2;
F = laplace(int(int(f,t),t))

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 225
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t = sym('t', 'real');
f = t.^2;
F = laplace(int(int(f,t),t))

1.2.4. Desplazamiento en la frecuencia

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ e^{at} f \left( t \right) \right\} = F \left( s - a \right) }\]

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 226
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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syms t a s;
f1 = exp(a*t);
f2 = t;
F1 = laplace(f1*f2)
F2 = laplace(f2, s-a)

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 227
% Tipo: Simbólico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

syms t a s;
f1 = exp(a*t);
f2 = t;
F1 = laplace(f1*f2)
F2 = laplace(f2, s-a)

1.2.5. Multiplicación por $t$

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ {{t^n}f\left( t \right)} \right\} = {\left( { - 1} \right)^n}\frac{{{d^n}F\left( s \right)}}{{d{s^n}}} }\]

1.2.6. Teorema del valor inicial

\[\large{ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } sF\left( s \right) }\]

1.2.7. Teorema del valor final

\[\large{ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sF\left( s \right) }\]

1.2.8. Convolución

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ {{f_1}\left( t \right)*{f_2}\left( t \right)} \right\} = \int\limits_0^\infty {{f_1}\left( {t - \tau } \right){f_2}\left( \tau \right)d\tau } }\]

La convolución es un concepto muy importante y en términos de Laplace, esta representa la multiplicación entre bloques. Por ejemplo, a continuación se presenta la convolución de dos pulsos cuadrados cuya función resultante es un pulso triangular.

Figura 5. Convolución de dos pulsos cuadrados
https://es.wikipedia.org/wiki/Convoluci%C3%B3n#/media/Archivo:Convolucion_Funcion_Pi.gif

En el siguiente vídeo se describe el concepto de Convolución desde un punto de vista gráfico.

Video 2. Physics Videos by Eugene Khutoryansky
https://www.youtube.com/watch?v=acAw5WGtzuk&t=47s

1.3. Transformada de Laplace de funciones especiales

A continuación se presenta la transformada de Laplace de algunas funciones especiales (también conocidas como funciones de prueba).

1.3.1. Función exponencial

se define como

\[\large{ \begin{align} f \left( t \right) & = 0 & t < 0\\ \nonumber \\ f \left( t \right) & = A e^{ -\alpha t} & t \ge 0 \end{align} }\]

donde $A$ y $\alpha$ son constantes. 

Figura 6. Función exponente

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 228
% Tipo: Numérico/Grafico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

x = -2:0.5:10;
y = exp(x/2);
plot(x, y)
grid on
axis square

La transformada de Laplace se define como

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ {A{e^{ - \alpha t}}} \right\} = \int\limits_0^\infty {A{e^{ - \alpha t}}{e^{ - st}}\mathrm{d} t} = A \int\limits_0^\infty {{e^{ - \left( {s + \alpha } \right)t}}\mathrm{d} t} = \dfrac{A}{{s + \alpha }} }\]

donde

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ {A{e^{ - \alpha t}}} \right\} = \dfrac{A}{{s + \alpha }} }\]

1.3.2. Función Escalón

Se define como

\[\large{ \begin{align} f \left( t \right) & = 0 & t < 0\\ \nonumber\\ f \left( t \right) & = A & t \ge 0 \end{align} }\]

donde $A$ es una constante. Nótese que este es un caso especial de la función exponencial para $\alpha = 0$.

Figura 7. Función escalón

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 229
% Tipo: Numérico/Grafico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t = (-1:0.01:5)';
unitstep = zeros(size(t));
unitstep(t>=1) = 1;
plot(t,unitstep,'b','linewidth',3)
grid
axis([0 2.5 -0.5 1.5])

La transformada de Laplace se define como

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ A \right\} = \int\limits_0^\infty A e^{ - st} \mathrm{d} t = A \int\limits_0^\infty {{e^{ - st}}\mathrm{d} t} = \dfrac{A}{s} }\]

donde

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ A \right\} = \dfrac{A}{s} }\]

1.3.3. Función Rampa

Se define como

\[\large{ \begin{align} f \left( t \right) & = 0 & t < 0\\ \\ f \left( t \right) & = At & t \ge 0 \end{align} }\]

donde $A$ es una constante.

Figura 8. Función rampa

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 230
% Tipo: Numérico/Grafico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

t1=0:0.1:10;
rampa1=t1;
rampa=[zeros(1,101),rampa1];
t2=-10:0.1:0;
t=[t2,t1];
plot(t,rampa,'b','linewidth',3)
grid on

La transformada de Laplace se define como

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ At \right\} = \int\limits_0^\infty At e^{ - st} \mathrm{d} t = A \int\limits_0^\infty t{e^{ - st}}\mathrm{d} t = \dfrac{A}{s^{2}} }\]

donde

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ At \right\} = \dfrac{A}{s^{2}} }\]

1.3.4. Función Coseno

Se define como

\[\large{ \begin{align} f \left( t \right) & = 0 & t < 0\\ \nonumber\\ f \left( t \right) & = A \cos (t) & t \ge 0 \end{align} }\]

donde $A$ es una constante.

Figura 9. Función coseno

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 231
% Tipo: Numérico/Grafico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

f=100;
p=1/f;
a=255;
t=linspace(0,p,1000);
coseno=a*cos(2*pi*f*t);
plot(t,coseno,'b','linewidth',3)
grid on

La transformada de Laplace se define como

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ {A\cos \left( {\omega t} \right)} \right\} = \int\limits_0^\infty {A\cos \left( {\omega t} \right){e^{ - st}}\mathrm{d} t} = A \int\limits_0^\infty {\cos \left( {\omega t} \right){e^{ - st}}\mathrm{d} t} = \dfrac{{A s }}{{{s^2} + {\omega ^2}}} }\]

donde

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ A \cos \left( \omega t \right) \right\} = \dfrac{A s}{s^{2} + \omega^{2}} }\]

1.3.5. Función Seno

Se define como

\[\large{ \begin{align} f \left( t \right) & = 0 & t < 0\\ \nonumber\\ f \left( t \right) & = A \mathrm{sen} (t) & t \ge 0 \end{align} }\]

donde $A$ es una constante.

Figura 10. Función seno

×

 

% Unidad: Preliminares Matemáticos
% Programa: Matlab
% Código: 232
% Tipo: Numérico/Grafico
% Autor: Pablo Sánchez Sánchez 

clear variables
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clc

f=100;
p=1/f;
a=255;
t=linspace(0,p,1000);
seno=a*sin(2*pi*f*t);
plot(t,seno,'b','linewidth',3)
grid on

La transformada de Laplace se define como

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ {A\mathrm{sen} \left( {\omega t} \right)} \right\} = \int\limits_0^\infty {A\mathrm{sen} \left( {\omega t} \right){e^{ - st}}\mathrm{d} t} = A \int\limits_0^\infty {\mathrm{sen} \left( {\omega t} \right){e^{ - st}}\mathrm{d} t} = \dfrac{{A\omega }}{{{s^2} + {\omega ^2}}} }\]

donde

\[\large{ \mathcal{L} \left\{ A \mathrm{sen} \left( \omega t \right) \right\} = \dfrac{A \omega}{s^{2} + \omega^{2}} }\]

1.4. Exámenes y Tareas

T5. Realizar la transcripción completa del Blog en un reporte en LaTeX y subir el archivo PDF a Google Classroom

T6. Realizar todos los códigos en Matlab y subir los archivos a Google Classroom

T7. Resolver los ejercicios de transformada 

E3. Contestar el Examen que se encuentra en Google Classroom